Cтраница 2
Например, в пространстве R, рассмотренном в примере 1 ( трехмерном пространстве), базис образуют любые три вектора, не лежащие в одной плоскости. [16]
Итак, пусть в пространстве R имеется базис из двух векторов EI, а2; докажем, что любые три вектора bi, Ь2, Ь3 линейно зависимы. [17]
Ненулевые векторы называют коллинеарными, если они лежат на параллельных прямых, и компланарными, если они параллельны одной плоскости. Нулевой вектор считается коллинеарным любому вектору; любые три вектора, среди которых есть нулевой, считаются компланарными. [18]
В данный момент нас интересует вопрос о том, каким образом одну линейно независимую систему векторов можно преобразовать в другую. В рассмотренном выше случае трехмерного пространства обе системы - исходная ( любые три вектора, не лежащие в одной плоскости) и конечная ( три попарно ортогональных вектора единичной длины) - содержали одинаковое число векторов. К такому преобразованию мы придем, заменяя векторы исходной системы по одному до тех пор, пока шаг за шагом не заменим все старые векторы на новые. Поэтому прежде всего необходимо выяснить, в каких случаях один вектор допустимо заменять другим. [19]
Совокупность линейно независимых векторов, по которым производится разложение остальных векторов, называется базисом. Из сказанного выше следует, что в плоскости базисом могут служить любые два непараллельных вектора, а в пространстве - любые три вектора, не параллельных одной плоскости. [20]
Поскольку векторы базиса не параллельны, то ни один из них не является скалярным кратным другого и поэтому они линейно независимы. В трехмерном пространстве базисом служат любые три вектора, не лежащие в одной плоскости. [21]