Cтраница 2
В задачах 48 - 61 определить область задания уравнения, область существования решения задачи Коши, область существования и единственности, указать особые линии; изучить поле направлений, определяемое этим дифференциальным уравнением ( найти изоклины, построить изоклины у 0, у 1, у - оо, определить направление ноля в точках, лежащих на осях координат, указать эбласти возрастания и убывания решений, найти линии экстремумов, установить направление вогнутости и найти линии точек перегиба, сделать рисунок); сделать схематический набросок семейства интегральных кривых; проинтегрировать уравнение, найдя все решения; изучить поведение интегральных кривых в окрестности эсобых линий, на границе области задания уравнения и на бесконечности по аналитическому виду семейства интегральных кривых; сделать рисунок. [16]
В задачах 371 - 420 определить область задания уравнения, область существования решения задачи Коши, область существования и единственности, указать особые точки и особые линии; изучить поле направлений, определяемое этим дифференциальным уравнением ( найти изоклины, построить изоклины у 0, у, у оо, определить направление поля в точках, лежащих на осях координат, указать области возрастания и убывания решений, найти линии экстремумов, установить направление вогнутости и найти линии точек перегиба, сделать рисунок); сделать схематический набросок семейства интегральных кривых; проинтегрировать уравнение, найдя все решения; изучить поведение интегральных кривых в окрестности особых точек и особых линий, на границе области задания уравнения и на бесконечности по аналитическому виду семейства интегральных кривых; сделать рисунок. [17]
В задачах 210 - 217 определить область задания уравнения, область существования решения задачи Коши, область существования и единственности, указать особые точки и особые линии; изучить поле направлений, определяемое этим дифференциальным уравнением ( найти изоклины, построить изоклины у 0, у - 1, у оо, определить направления поля в точках, лежащих на осях координат, указать области возрастания и убывания решений, найти линии экстремумов, установить направление вогнутости и найти линии точек перегиба, сделать рисунок); сделать схематический набросок семейства интегральных кривых; проинтегрировать уравнение, найти все решения; изучить поведение интегральных кривых в окрестности особых точек и особых линий, на границе области задания уравнения и на бесконечности по аналитическому виду семейства интегральных кривых; сделать рисунок. [18]
В задачах 153 - 161 определить область задания уравнения, область существования решения задачи Крши, область существования и единственности; указать особые точки и особые линии; изучить поле направлений, определяемое этим дифференциальным уравнением ( найти изоклины, построить изоклины у - 0, у 1, у оо, определить направления поля в точках, лежащих на осях координат, указать области возрастания и убывания решений, найти линии экстремумов, установить направление вогнутости и найти линии точек перегиба, сделать рисунок); сделать схематический набросок семейства интегральных кривых; проинтегрировать уравнение, найдя все решения; изучить поведение интегральных кривых в окрестности особых точек и особых линий, на границе области задания уравнения и на бесконечности по аналитическому виду семейства интегральных кривых; сделать рисунок. [19]
В - задачах 210 - 217 определить область задания уравнения, область существования решения задачи Коши, область существования и единственности, указать особые точки и особые линии; изучить поле направлений, определяемое этим дифференциальным уравнением ( найти изоклины, построить изоклины г / 0, 1, у оо, определить направления поля в точках, лежащих на осях координат, указать области возрастания и убывания решений, найти линии экстремумов, установить направление вогнутости и найти линии точек перегиба, сделать рисунок); сделать схематический набросок семейства интегральных кривых; проинтегрировать уравнение, найти все решения; изучить поведение интегральных кривых в окрестности особых точек и особых линий, на границе области задания уравнения и на бесконечности по аналитическому виду семейства интегральных кривых; сделать рисунок. [20]
В задачах 153 - 161 определить область задания уравнения, область существования решения задачи Коши, область существования и единственности; указать особые точки и особые линии; изучить поле направлений, определяемое этим дифференциальным уравнением ( найти изоклины, построить изоклины г / 0, у 1, у - оо, определить направления поля в точках, лежащих на осях координат, указать области возрастания и убывания решений, найти линии экстремумов, установить направление вогнутости и найти линии точек перегиба, сделать рисунок); сделать схематический набросок семейства интегральных кривых; проинтегрировать уравнение, найдя все решения; изучить поведение интегральных кривых в окрестности особых точек и особых линий, на границе области задания уравнения и на бесконечности по аналитическому виду семейства интегральных кривых; сделать рисунок. [21]
В задачах 371 - 420 определить область задания уравнения, область существования решения задачи Коши, область существования и единственности, указать особые точки и особые линии; изу - чить поле направлений, определяемое этим дифференциальным уравнением ( найти изоклины, построить изоклины г / 0, у - , у оо, определить направление поля в точках, лежащих на осях координат, указать области возрастания и убывания решений, найти линии экстремумов, установить направление вогнутости и найти линии точек перегиба, сделать рисунок); сделать схематический набросок семейства интегральных кривых; проинтегрировать уравнение, найдя все решения; изучить поведение интегральных кривых в окрестности особых точек и особых линий, на границе области задания уравнения и на бесконечности по аналитическому виду семейства интегральных кривых; сделать рисунок. [22]
Многие задачи современной техники и механики приводят к исследованию систем (0.1) и часто большого порядка. Для этих систем требуется определить порядок роста или убывания решений, выделить на плоскости параметров области заданного экспоненциального убывания решений. [23]
С другой стороны, например, при рассмотрении обтекания тонкого тела удобно ту же картину течения получать, заменяя тело распределенными вдоль его срединной поверхности вихрями. Сосредоточенные особенности типа вихря обеспечивают сразу и нужный порядок убывания решения на бесконечности и создают разрыв касательных скоростей, имеющий место на поверхности тонкого тела. [24]
Собственные значения матрицы А равны Я 1 А. ЛТ Л равны Х11, Я2 - 5, так что при t Q может не быть немедленного убывания решения. [25]
В конце концов, в физике математика применяется не для доказательства того, что реальные процессы действительно осуществляются, а для описания характера этих процессов. Поэтому ядро классической теории линейных УЧП образует третья категория вопросов. Поскольку исследователя интересует, как выглядят решения, и в идеале хотелось бы знать о них все, здесь возникает много различных проблем. Особое внимание уделяется регулярности, локализации особенностей, оценкам в различных нормах. Возникают также вопросы о спектральных свойствах оператора Я, об убывании решений, расположении максимумов или узловых множеств, предельном поведении при возмущениях уравнения или границы ( возможно, весьма сингулярных) и многие другие. Большое число таких проблем рассматривается на этих страницах. [26]
Как мы убедились, для эллиптических уравнений краевая задача ставится на замкнутой поверхности - границе § компактной области D или на бесконечности. Для уравнения теплопроводности требуется одно начальное условие, для волнового уравнения - два. Пусть теперь D с W1 - начальная гиперповерхность t О, где заданы начальные условия. Надо найти то решение, которое одновременно удовлетворяет и начальным, и граничным условиям. Такая постановка называется смешанной краевой задачей. В основном мы будем рассматривать частный случай, когда начальное условие поставлено во всем пространстве D Rn, а граничные условия заменяются требованием убывания решения на бесконечности. Для гиперболических уравнений ставится и задача Коши только с начальными условиями в компактной области, но решение такой задачи не удается продолжить на произвольные времена. [27]