Cтраница 2
Следовательно, равны и вписанные углы А АМ, В ВМ, опирающиеся на эти дуги. Но эти углы являются соответственными ( накрест лежащими) углами, образованными при пересечении прямых АА и ВВ секущей АВ. [16]
Угол, вершина которого лежит на окружности, а стороны пересекают эту окружность, называется вписанным в окружность. На рисунке 23 изображены вписанные углы. [17]
Тогда окажется, что вписанные углы МНС и МВС равны, так как они опираются на одну и ту же дугу МС. [18]
Окружность, описанная на АВ как на диаметре, пройдет через Н и К, так как углы АНВ, АКВ прямые. Поэтому углы АНК АВК равны как вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу. [19]
Треугольники ВСК и ABD также подобны, так как Z. CBK ZABD, а углы АСВ и ADB равны как вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу АВ. [20]
По теореме 60 хорды MN, M N параллельны. Следовательно, заключенные между ними дуги РМ, QN круга О равны, а потому равны и опирающиеся на эти дуги вписанные углы MAP, NAQ того же круга, что и требовалось. Если бы хорда PQ круга ( У была касательна к кругу О, то точки М, N совпадали бы с точкой касания и мы получили бы следующую теорему: если два круга внутренне касателыш и хорда наружного круга касательна к внутреннему, то прямая, соединяющая точку касания кругов с точкой касания хорды к внутреннему кругу, делит пополам угол между прямыми, соединяющими точку касания кругов с концами хорды. Предлагаем читателю доказать эту теорему самостоятельно. [21]
Из проверки описанного построения становится очевидно, что достаточно только знать две известные теоремы из геометрии, а именно: центральный угол равен двойному вписанному углу и вписанные углы, опирающиеся на одну дугу окружности, равны между собой. [22]
Так как в четырехугольнике ABCD сумма углов при вершинах В и D равна 180, то около него можно описать окружность, диаметром которой будет диагональ АС, потому что на нее опираются прямые вписанные углы. [23]
Так как в четырехугольнике ABCD сумма углов при вершинах В и О равна 180е, то около него можно описать окружность, диаметром которой будет диагональ АС, потому что на нее опираются прямые вписанные углы. [24]
Отрезок АН служит высотой треугольника ABC, так как при точке Н строился прямой угол. Точка М - середина отрезка ВС, так как является основанием перпендикуляра, опущенного из центра окружности на ее хорду ВС. Так как точка Р - середина дуги ВРС, то вписанные углы ВАР и САР равны между собой, так что AD - биссектриса угла А. [25]