Cтраница 2
Комплексное число на плоскости хОу ( рис. 1.2) представляется точкой М с координатами х, у; эту точку называют также изображением комплексного числа. [16]
Эта точка считается изображением комплексного числа z и часто называется просто точкой г, а плоскость называется комплексной плоскостью; ось абсцисс называется действительной осью, а ось ординат - мнимой осью. [17]
Плоскость, служащая для изображения комплексных чисел, называется комплексной плоскостью. [18]
В связи с этим при изображении комплексных чисел точками плоскости используется следующая терминология: ось ОХ называется действительной осью, ось OY-мнимой осью, а сама координатная плоскость, как совокупность точек, изображающих множество комплексных чисел, называется комплексной плоскостью. [19]
Диаметр сферы ОР, проходящий через точку О, будет перпендикулярным к плоскости; вторую точку его пересечения со сферой, точку Р, назовем полюсом. Всякое комплексное число г изображается точкой на плоскости; соединяя эту точку с полюсом прямой линией Рг, получим в пересечении этой прямой и сферы единственную точку ( отличную от Р), которую примем за изображение комплексного числа г. Итак, каждое комплексное число изображается некоторой точкой сферы; обратно, каждой точке сферы, кроме полюса Р, соответствует единственная точка на плоскости, получающаяся в пересечении с плоскостью луча, проходящего через Р и рассматриваемую точку; таким образом, всякая точка сферы, кроме полюса Р, изображает некоторое комплексное число. Эта сфера, из которой выкинута точка Р, является изображением совокупности всех комплексных чисел. Посмотрим, каково взаимное отношение точки Р с другими точками сферы. [20]
Таким образом, путем указанного преобразования, называемого стереографической проекцией, мы устанавливаем взаимно однозначное соответствие между точками сферы и точками плоскости, включая ее единственную бесконечно удаленную точку. Эта сфера, точки которой изображают совокупность всех комплексных чисел и бесконечности, носит название комплексной числовой сферы, или сферы Римана. Преимущество изображения комплексных чисел на сфере вместо плоскости состоит в том, что здесь наглядно изображается единственная бесконечно удаленная точка плоскости. [21]
Для представления комплексных чисел иногда используют комплексную плос-кость. Она представляет собой такую же плоскость, как и плоскость с координатами х, у. При изображении комплексного числа действительная часть берется как коор. [22]