Cтраница 1
Легкое упражнение показывает, что класс всех конечных полугрупп S, обладающих тем свойством, что eSe есть полурешетка для любого идемпотента е е S, образует псевдомногообразие полугрупп. Имеются два различных доказательства теоремы 1.10, оба длинные и трудные. Доказательство Бжозовского и Саймона [1973] использует технику автоматных декомпозиций, тогда как доказательство Мак-Нотона [1974] чисто комбинаторное. Мы наметим доказательство теоремы 1.10, следуя Закстайну [1972, 1973], опустив при этом лишь доказательство наиболее трудной леммы. [1]
Легким упражнением является доказательство того, что полугруппа Jf ( G; I, Л; Р) регулярна тогда и только тогда, когда матрица Р в каждой строке и в каждом столбце содержит ненулевые элементы. Если не возникает двусмысленности, символ умножения мы будем опускать. [2]
Представляется легким упражнением задание рекурсивного двуместного отношения R на N, изоморфного упорядочению МЕНЬШЕ, ЧЕМ на любой счетной модели теории Z почти столь же легко построить R, такое, что функция Я-следования также рекурсивна. Таким образом, существуют модели теории Z, в которых МЕНЬШЕ, ЧЕМ и s рекурсивны. Из теоремы Тенненбаума, Крайзеля и Мак Алуна следует, что мы не можем достичь существенно лучшего. Однако теория Q имеет нестандартные модели, в которых ф и рекурсивны ( см. таблицу в упр. [3]
В качестве легкого упражнения из теории отделимости читатель может убедиться в том, что выпуклое множество С является аффинным тогда и только тогда, когда любая линейная функция, ограниченная сверху на С, есть константа. Это условие означает, что - б ( - у С ] б ( у С), если только 6 ( У I С) оо. [4]
Читатель сам в качестве легкого упражнения может доказать это утверждение. Допуская некоторую вольность речи, можно сказать, что совместная программа строго совместна, если не существует направления, вдоль которого сколь угодно малые возмущения приводят к тому, что множество допустимых векторов становится пустым. [5]
Доказательство оставляется читателю в качестве легкого упражнения. [6]
Каждое занятие гимнастикой следует начинать с легких упражнений, которые ребенок выполняет с помощью матери. Постепенно переходят к более самостоятельным и более сложным движениям. [7]
Мы оставляем этот явный вывод в качестве легкого упражнения читателю. [8]
Детали могут быть уточнены читателем в виде легкого упражнения. [9]
Проверку остальных условий оставляем читателю в качестве легкого упражнения. [10]
Доказательство следующего утверждения предоставляется читателю в качестве очень легкого упражнения. [11]
Проверка стандартных теорем о гомоморфизмах предоставляется читателю в качестве легкого упражнения. [12]
Доказательство формулы ( 27) ( по индукции) оставляется читателю в качестве легкого упражнения. [13]
Тот факт, что все требуемые свойства отображения Р переносятся в теорию Чеха, является легким упражнением и доказываться здесь не будет. [14]
Мы докажем утверждения ( 1) и ( Г), оставляя прочие читателю в качестве легкого упражнения. [15]