Cтраница 2
Известный метод построения уравнений движения, основывающийся на исчезновении дивергенции тензора материи, и в новой теории приводит к уравнениям геодезической линии, на которой действующая на заряженную точку сила Лоренца совсем не учитывается. Коротко обсуждается возможное объяснение этого результата. [16]
Выберем ось z параллельно образующим цилиндрической поверхности; тогда уравнение этой поверхности будет G ( x, у) 0 и не содержит г. Из уравнений геодезических линий [ стр. [17]
Теорема 1 допускает уточнения для задачи о геодезических ла. Если ее род больше 1, то уравнения геодезических линий на М вообще не допускают нетривиальных полей симметрии и интегралов. [18]
Возвратимся к работе Белътрами, Он строил аналитически геометрию псевдосферы, но ведь это была в то же время, хотя бы и локально, гиперболическая геометрия, двумерная геометрия Лобачевского. Бельтрами, есте ственно, прежде всего выводит уравнение геодезической линии - прямой в гиперболической плоскости. Это уравнение мы уже привели выше; в декартовых координатах, как таковые определены на стр. [19]
Получаемые вариационные уравнения называются, по аналогии с теорией поверхностей, уравнениями геодезической линии. Необходимо, однако, отметить, что в теории поверхностей ( где квадрат бесконечно малого расстояния есть определенная положительная форма от дифференциалов координат) геодезическая линия является, вообще говоря), кратчайшей, тогда как экстремум временного интервала соответствует его максимуму, а экстремум пространственного интервала не представляет ни максимума, ни минимума. [20]
Случаю F 0 соответствует движение точки по лучу со скоростью света. В этом случае лагранжева функция (38.18) равна нулю и приведенный выше вывод уравнений геодезической линии теряет силу. [21]
Мы еще раз убедились, что уравнения свободного движения материальной точки совпадают с уравнениями геодезической линии. [22]
Уравнения геодезических линий можно рассматривать также на любом многомерном римановом многообразии, так как для их составления используются только символы Кристофеля, выражающиеся при помощи коэффициентов метрической формы. Кроме того, указанный выше вариационный подход к задаче, позволивший нам получить новый вывод уравнений геодезических линий поверхности, непосредственно переносится на любые римановы многообразия. [23]
Именно, поставим задачей определить два различных четырехмерных римановых пространства, имеющих в общей системе координат одинаковые уравнения геодезических линий, но при этом не будем требовать, чтобы все изотропные геодезические линии одного пространства были изотропными и для другого пространства. Такая задача, как будет показано в настоящей главе, имеет нетривиальные решения и может быть интерпретирована как моделирование ( в смысле поведения пробных частиц) одного общерелятивистского поля другим. [24]
Один из способов геометризации тяготения состоит в таком определении геометрии, чтобы траектории частиц совпадали с особыми кривыми, выделенными геометрией. Согласно предположению Эйнштейна, с траекториями частиц следует отождествить экстремальные кривые геометрии. Тогда гравитационное поле оказывается замененным кривизной пространства, а уравнения движения - уравнениями геодезических линий. [25]
Совершенно иначе, чем с максвелловской теорией, обстоит дело с теорией Эйнштейна. Уже тот закон, согласно которому мировые линии материальных точек и световых лучей являются геодезическими, в общем случае не выполняется в теории Веиля. Материальная точка движется по геодезической линии: лишь при отсутствии электромагнитных полей, а для светового луча уравнение геодезической линии теряет смысл, так как даже при отсутствии гравитационных пояей члены, содержащие 4-потенциал ф, вносят осциллирующее функции того же периода, что и световое колебание, в уравнение геодезической линии. [26]
На основе понятия параллельного переноса полувектора записываются уравнения Дирака в общековариантной форме. Строится тензор энергии-импульса и выводятся как макроскопические, так и квантовомеханические уравнения движения. Первые из них имеют свой обычный вид: дивергенция тензора энергии-импульса равна силе Лоренца; последние же в основном совпадают с уравнением геодезической линии. [27]
Совершенно иначе, чем с максвелловской теорией, обстоит дело с теорией Эйнштейна. Уже тот закон, согласно которому мировые линии материальных точек и световых лучей являются геодезическими, в общем случае не выполняется в теории Веиля. Материальная точка движется по геодезической линии: лишь при отсутствии электромагнитных полей, а для светового луча уравнение геодезической линии теряет смысл, так как даже при отсутствии гравитационных пояей члены, содержащие 4-потенциал ф, вносят осциллирующее функции того же периода, что и световое колебание, в уравнение геодезической линии. [28]
Бернулли поставил задачу, которую можно считать первой дифференциально-геометрической задачей: каковы кривые на данной поверхности, на которых реализуется минимум расстояния ( по поверхности) между двумя заданными точками. Уравнения геодезических линий на любой поверхности были написаны Эйлером и Лагранжем в 1770 - х гг. Тогда же Эйлер указал формулу для распределения кривизны нормальных сечений, а также определил все поверхности, наложимые на плоскость. Линии кривизны и асимптотические линии были введены Монжем в трактате Приложения анализа к геометрии ( 1795); Дюпен и Менье, имена которых связаны с кривизной кривых на поверхности - ученики Монжа. В ней введены обе основные квадратичные формы, полная кривизна ( с помощью сферического отображения) и доказана теорема об ее инвариантности при изгибании. Принципиальное значение имеет введенное Гауссом понятие внутренней геометрии поверхности как совокупности ее свойств, не меняющихся при изгибании. Гаусс нашел и внутреннее описание кривизны через сумму углов геодезического треугольника. [29]
Далее мы вывели уравнения Дирака в общей теории относительности, инвариантные по отношению к выбору как координатг так и тетрады. Попутно было получено явное выражение для дираковских операторов в криволинейных ортогональных координатах. Был построен тензор, дивергенция которого равна силе Лоренца, и этот тензор был истолкован как тензор энергии-импульса, а уравнение, которому он подчиняется, - как макроскопическое уравнение движения. Затем мы вывели квантово-механические уравнения движения электрона, которые отвечают классическим уравнениям для заряженной материальной точки или - в отсутствие электромагнитного поля - уравнениям геодезической линии. Наконец, был записан вариационный принцип, из которого могут быть выведены уравнения Дирака. [30]