Cтраница 2
В настоящей главе исследуются два вопроса, которые тесно связаны между собой: решение задачи Дирихле для уравнений Монжа - Ампера в классе достаточно гладких функций и исследование дифференциальных свойств обобщенных решений уравнений Монжа - Ампера. [16]
Следует отметить также работы Жиро ( Giraud) [1,2], тоже рассматривающего случай любого числа переменных, а в работе [3] изучающего также и другие краевые задачи, и работу Реллиха ( Rellich) [1], рассматривающего уравнения Монжа - Ампера. [17]
В этом разделе мы получим внутренние оценки Гельдера для вторых производных решений вполне нелинейных эллиптических уравнений при условии, что функция F - вогнутая ( или выпуклая) функция переменных г. Это ограничение, не являющееся необходимым в случае двух переменных, рассмотренном в предыдущем разделе, оказывается достаточным, чтобы можно было рассмотреть уравнения типа уравнения Монжа - Ампера и Беллмана - Пуччи. [18]
Уравнение баланса (3.2) служит для определения начальных значений функции тока г) по Я. В советской литературе был предложен ряд приемов решения уравнения (3.2) ( это - уравнение Монжа - Ампера); мы на них не останавливаемся. [19]
В ней рассмотрены вполне нелинейные эллиптические уравнения и изложены результаты недавних работ об уравнениях Монжа - Ампера и об уравнениях типа уравнения Беллмана - Пуччи. [20]
Многие геометрические проблемы при аналитическом подходе к их решению приводят к рассмотрению дифференциальных уравнений с частными производными. Так, например, известные классические проблемы геометрии в целом - проблема Вейля и Минковского связаны с проблемой разрешимости уравнения Монжа - Ампера, рассматриваемого на многообразии, гомеоморфном сфере. Значительные успехи, достигнутые за последние четверть века в теории дифференциальных уравнений Монжа - Ампера эллиптического типа, связаны прежде всего с решением упомянутых двух геометрических проблем. Именно на этом пути были получены весьма общие теоремы о существовании и единственности решений уравнений Монжа - Ампера общего вида. [21]
Монография посвящена регулярному решению известной проблемы Минковского о существовании замкнутой выпуклой гиперповерхности с заданной гауссовой кривизной, а также ряду вопросов геометрии и теории дифференциальных уравнений с частными производными, примыкающих к этой проблеме. В частности, здесь рассматривается общая проблема существования замкнутой выпуклой гиперповерхности с заданной функцией кривизны любого порядка. Изучаются обобщенные решения многомерного аналога уравнения Монжа - Ампера, при известных условиях доказывается их регулярность, решается задача Дирихле. Рассматриваются несобственные выпуклые аффинные гиперсферы и в случае их полноты доказывается, что все они являются эллиптическими параболоидами. Книга может быть рекомендована студентам, аспирантам и научным работникам в области геометрии и теории дифференциальных уравнений. [22]
За последние 15 лет появилось много публикаций, относящихся к многомерному уравнению Монжа-Ампера и его приложениям, преимущественно в геометрии. Одними из первых среди них были публикации автора в журнале Доклады АН СССР, в которых анонсировались результаты, относящиеся к многомерной проблеме Минковского и простейшему уравнению Монжа-Ампера, к рассмотрению которого сводится эта проблема. В этой книге было дано регулярное решение многомерной проблемы Минковского и, как следствие, получено решение основных задач для уравнения Монжа - Ампера простейшего вида с правой частью, содержащей только независимые переменные. [23]
В настоящей книге развиваются методы исследования ряда вопросов, связанных с положительными решениями различных задач. Эти вопросы возникают во многих разделах математики. В связи с этим общие результаты, полученные в терминах функционального анализа, иллюстрируются приложениями к нескольким задачам: к первой краевой задаче для квазилинейных эллиптических уравнений, к нелинейным интегральным уравнениям, к нелинейным колебаниям, к задаче о точках бифуркации, к теории уравнений Монжа - Ампера и др. Приложения основаны на специальных построениях и используют свойства функций Грина различных дифференциальных операторов. [24]
Многие геометрические проблемы при аналитическом подходе к их решению приводят к рассмотрению дифференциальных уравнений с частными производными. Так, например, известные классические проблемы геометрии в целом - проблема Вейля и Минковского связаны с проблемой разрешимости уравнения Монжа - Ампера, рассматриваемого на многообразии, гомеоморфном сфере. Значительные успехи, достигнутые за последние четверть века в теории дифференциальных уравнений Монжа - Ампера эллиптического типа, связаны прежде всего с решением упомянутых двух геометрических проблем. Именно на этом пути были получены весьма общие теоремы о существовании и единственности решений уравнений Монжа - Ампера общего вида. [25]