Cтраница 2
Раньше других для исследования движения механической системы с неголономными связями были применены уравнения Рауса со множителями. Эти уравнения применимы как для систем с голономными, так и с неголономными связями. [16]
Переход от уравнений Лагранжа d ( dT / dq) / dt - дТ / дд Q к уравнениям Рауса осуществляется при помощи специальной замены фазовых переменных, для введения которой рассмотрим некоторый особый класс преобразований, называемых преобразованиями Лежандра, или потенциальными преобразованиями. [17]
Эта система замкнута, когда Q, не зависят от циклических координат, и в этом случае она носит название системы уравнений Рауса. [18]
Видим, что уравнения Рауса имеют форму уравнений Лагранжа, но роль функции Лагранжа в них играет функция Рауса. После интегрирования уравнений Рауса задача определения закона изменения циклических координат приводится к квадратурам. [19]
К зависит уже только от позиционных координат к скоростей. Эти уравнения называются уравнениями Рауса Теперь задача сводится к исследованию новой системы с s степенями свободы. Роль функции Лагранжа для новой системы играет функция Рауса. [20]
Это значит, что циклические координаты не входят в состав функции Рауса. Уравнения же (4.56), которые называются уравнениями Рауса, своего вида не изменят. Итак, нами установлено, что функция Рауса не содержит циклических координат и их производных по времени. [21]
В случае псевдоциклических координат использование преобразования Лежандра с соответствующим числом / приводит к понижению порядка системы на п - / единиц. Процедура исключения циклических координат посредством перехода к уравнениям Рауса носит название процедуры игнорирования циклических координат по Раусу. [22]
Уравнения смешанного типа для неголономной механики, содержащие кинетическую энергию ускорений, составил И. Он вывел необходимое и достаточное условие аннулирования корректирующих членов в отдельных уравнениях неголономной механики типа Лагранжа второго рода, если последние допускают неполную систему первых интегралов. Рети 3 принадлежит своеобразная модификация уравнений Рауса - Фосса для консервативных неголономных систем с потенциальной энергией, зависящей от времени, лагран-жевых координат и скоростей. Гамель, между уравнениями Ценова, Аппеля - Гиббса и Воронца - Гамеля можно установить непосредственную связь. [23]
Для этого надо принять, что координаты второй группы степеней свободы являются циклическими и, следовательно, не входят в функцию Лагранжа, а также согласно первому уравнению из второй группы pk оказываются постоянными. Для этих координат справедлива первая группа уравнений Рауса, в силу чего задача сводится к / - г уравнений типа Лагранжа. [24]
Такие уравнения могут появиться, если связи в колебательной системе нестационарные, но выражение кинетической энергии не содержит времени явно. Коэффициенты Crs при этом получаются из разности П - TQ, где TQ - член в выражении кинетической энергии, не зависящий от обобщенных скоростей. Уравнения (2.2.12) возникают также в случае, когда механическая система содержит циклические координаты, и исследуются равновесия в позиционной подсистеме при фиксированных циклических импульсах. Вместо второй группы уравнений Лагранжа в (2.2.12) в этом случае войдут уравнения Рауса, которые могут содержать гироскопические члены. [25]
Приложение этих уравнений к циклическим системам, которое и имел в виду Раус при их выводе, заключается в следующем. Мы принимаем, что координаты второй группы степеней свободы являются циклическими и, следовательно ( согласно стр. Лагранжа; в таком случае они не входят также и в функцию Рауса. Вследствие этого, соответствующие р оказываются постоянными ( согласно верхнему уравнению из правой группы уравнений Рауса или так же, как мы уже замечали на стр. Для этих координат справедлива левая группа приведенных уравнений (42.5), благодаря чему задача сводится к / - г уравнениям типа Лагранжа. [26]
Аналогичный способ гашения колебаний широко используется в электрических машинах ( генераторах, двигателях и других), например, для демпфирования качаний ротора при включении синхронной машины в сеть или при изменении ее нагрузки. Для неявнополюсной синхронной электрической машины гасителем таких колебаний является само тело ротора, в котором возникают токи Фуко, если угловая скорость его вращения не совпадает с частотой вращения магнитного поля, создаваемого статорной обмоткой. В отличие от магнитоэлектрических гасителей движение ротора происходит не в постоянном, а в переменном как во времени, так и в пространстве магнитном поле. Однако с помощью асимптотических методов разделения движений известные уравнения качаний ротора синхронной машины можно преобразовать так, что они совпадут с уравнениями движения маятника с магнитоэлектрическими гасителями. Такая возможность появляется благодаря тому, что усредненные уравнения качаний ротора, так же, как исходные, записанные относительно потокосцеплений, имеют структуру уравнений Рауса, но являются автономными и имеют существенно более низкий порядок, чем исходные. [27]