Cтраница 3
Кирхгоффом была получена система дифференциальных уравнений равновесия: Kirchhoff G. Клебшем получена система уравнений совместности перемещений и параметров деформации: Clebsch A. [31]
Здесь представим только общие соображения по расчету нелинейных систем, поскольку эта тема выходит за рамки данной работы. Нелинейные задачи деформирования стержней, пластин и оболочек весьма разнообразны и каждая задача требует индивидуального подхода. Однако, если нелинейные модули образуют целостную систему, то для узловых точек ( линий) всегда будут справедливы уравнения равновесия между статическими параметрами и уравнения совместности перемещений между кинематическими параметрами. Это значит, что топологическая матрица С в алгоритме МГЭ для нелинейных систем будет формироваться из анализа матриц X и Y точно так же, как для упругих систем. Основные же трудности решения нелинейных задач заключаются в определении внутреннего содержания матриц А и В, т.к. построить фундаментальные функции нелинейных дифференциальных уравнений за небольшим исключением не удается. К первому направлению относятся проекционные и вариационные методы типа методов Бубнова и Ритца, методы конечных разностей и конечных элементов. [32]
Статически неопределимыми системами называются системы, для которых, пользуясь только условиями статики, нельзя определить усилия во всех элементах. Для расчета статически неопределимых систем используют условия статики и условия совместности перемещений, причем решение ведут в следующем порядке. Удлинения элементов системы выражают через усилия по закону Гука и подставляют в условия совместности перемещений. Решая составленные уравнения статики и уравнения совместности перемещений, находят продольные усилия во всех элементах системы. [33]
При равновесии всей системы будут находиться в равновесии и узлы. При этом статические граничные параметры будут удовлетворять уравнениям равновесия узлов. При деформировании стержневой системы узлы получают определенные линейные и угловые перемещения, и кинематические граничные параметры будут связаны в этих узлах уравнениями совместности перемещений. Как следует из уравнения (1.31) нагрузка на стержень выделяется в отдельную матрицу и не связывается с граничными статическими параметрами. Поэтому уравнения равновесия узлов не должны содержать внешнюю нагрузку. [34]
При деформировании стержневой системы узлы получают определенные линейные и угловые перемещения, и кинематические граничные параметры будут связаны в этих узлах уравнениями совместности перемещений. Как следует из уравнения (1.39), нагрузка на стержень выделяется в отдельную матрицу и не связывается с граничными статическими параметрами. Поэтому уравнения равновесия узлов не должны содержать внешнюю нагрузку. Соответственно, уравнения равновесия, содержащие реакции внешних связей, могут рассматриваться только в случае, когда известны направление и величина внешних реакций. Для кинематических параметров уравнения совместности перемещений узлов не должны включать линейные и угловые перемещения стержней как абсолютно твердых тел. В такой постановке уравнения равновесия и совместности перемещений узлов стержневой системы выступают только как уравнения связи между граничными параметрами соседних стержней. Это позволяет изображать статические граничные параметры в узле либо в положительном, либо в отрицательном направлениях ( необходимо выбрать что-то одно), а перемещения узлов изображать визуально на деформированной схеме линейной системы лишь качественно. В этой связи для конкретной конструкции узла необходимо составить уравнения статики и совместности перемещений лишь один раз. В любой стержневой системе, содержащей такой узел, эти уравнения сохранят свой вид, что весьма существенно облегчает построение соотношений между граничными параметрами. [35]