Уравнение - теория - мелкая вода
Cтраница 2
Для решения уравнении теории мелкой воды могут быть применены численные методики, первоначально созданные для решения уравнений газовой динамики. В частности, локальная схема Лакса-Фридрихса ( Русанов, 1961), была применена Лятхером, Милитеевым, Тогуно-вой ( 1978) для численного анализа водоворотных потоков в каналах с расширением и растекания сверхкритического потока по наклонной плоскости. [16]
Следующим элементарным решением уравнений теории мелкой воды является простая волна, или волна разрежения. Это решение является непрерывно-дифференцируемым. [17]
Точное решение задачи Римана для уравнений теории мелкой воды с горизонтальным дном состоит из элементарных решений, которые отделены друг от друга областями с постоянными значениями параметров, так как такие состояния также являются точными решениями уравнений теории мелкой воды. Напомним, что к гидравлическому скачку ( ГС) характеристики одного из семейств подходят к нему с обеих его сторон. Заметим, что правые и левые значения в начальных данных в постановке задачи Римана могут быть выбраны таким образом, чтобы точное решение имело одиночные ГС, ТР или ВР, см. рис. 4.4 a - d, или двойные их конфигурации. В этом случае в решении отсутствует тангенциальный разрыв. [18]
В этой главе описаны явные методы сквозного счета принадлежащие типу Годунова, которые построены для численного моделирования одномерных и двумерных течений жидкости в рамках уравнений теории мелкой воды. Указанные численные методы основаны на решении одномерной задачи Римана о распаде произвольного гидродинамического разрыва для уравнений теории мелкой воды. Рассмотрены численные методы, основанные как на точном решении, так и на приближенных решениях задачи Римана, которые используются схемами Куранта-Изаксона - Риса ( КИР), Роу и Ошера-Соломона. Методы типа Годунова позволяют учесть произвольный рельеф дна. Особое внимание в главе уделено точному решению задачи о распаде произвольного разрыва. Это связано с тем, что данное решение позволяет без регуляризации, в рамках схемы сквозного счета, проводить прямое численное моделирование течений, в том числе как с учетом сухого дна, так и процессов множественного нестационарного обмеления, например, с образованием озер конечных размеров. [19]
Эти соотношения зависят от выбранной системы уравнений и выписаны для нестационарных и стационарных уравнений газовой динамики, а также для уравнений теории мелкой воды. [20]
В частности, Aurelli, Mignosa, Tomirotti ( 2000) рассмотрели современную формулировку метода Мак-Кормака с элементами TVD-схем; Delis, Skeels, Ryrie ( 2000a) изучили четыре различных численных схемы для решения уравнений теории мелкой воды, а именно: две модификации схемы Лакса-Фридрихса и модификации схем Роу и HLLE ( Harten, Lax, van Leer, 1983; Einfeldt, 1988; Einfeldt et al, 1991); в работе Delis, Skeels, Ryrie ( 2000b) изучены три различные TVD-схемы с элементами неявности; Khan ( 2000) описал особенности применения конечно-элементных подходов при решении уравнений теории мелкой воды; Mingham, Causon ( 2000) изучили применение схем HLL ( Harten, Lax, van Leer, 1983) и Роу, имеющих второй порядок точности, при использовании различных ограничителей в расчетах наклонов кусочно-линейных распределений сеточных функций внутри ячеек. [21]
Точное решение задачи Римана для уравнений теории мелкой воды с горизонтальным дном состоит из элементарных решений, которые отделены друг от друга областями с постоянными значениями параметров, так как такие состояния также являются точными решениями уравнений теории мелкой воды. Напомним, что к гидравлическому скачку ( ГС) характеристики одного из семейств подходят к нему с обеих его сторон. Заметим, что правые и левые значения в начальных данных в постановке задачи Римана могут быть выбраны таким образом, чтобы точное решение имело одиночные ГС, ТР или ВР, см. рис. 4.4 a - d, или двойные их конфигурации. В этом случае в решении отсутствует тангенциальный разрыв. [22]
В частности, Aurelli, Mignosa, Tomirotti ( 2000) рассмотрели современную формулировку метода Мак-Кормака с элементами TVD-схем; Delis, Skeels, Ryrie ( 2000a) изучили четыре различных численных схемы для решения уравнений теории мелкой воды, а именно: две модификации схемы Лакса-Фридрихса и модификации схем Роу и HLLE ( Harten, Lax, van Leer, 1983; Einfeldt, 1988; Einfeldt et al, 1991); в работе Delis, Skeels, Ryrie ( 2000b) изучены три различные TVD-схемы с элементами неявности; Khan ( 2000) описал особенности применения конечно-элементных подходов при решении уравнений теории мелкой воды; Mingham, Causon ( 2000) изучили применение схем HLL ( Harten, Lax, van Leer, 1983) и Роу, имеющих второй порядок точности, при использовании различных ограничителей в расчетах наклонов кусочно-линейных распределений сеточных функций внутри ячеек. [23]
Для иллюстрации техники разложений во второй и третьей главах изучаются простые примеры решения обыкновенных дифференциальных уравнений. В четвертой главе рассматривается широкий круг задач для дифференциальных уравнений в частных производных, описывающих многочисленные физические явления. Наконец, в последней главе мы имеем дело с типичным использованием асимптотических разложений - построением приближенных уравнений; с помощью асимптотических разложений из более точных уравнений выводятся уравнения для упрощенных физических моделей, такие, как уравнения теории мелкой воды, а также линеаризованной и трансзвуковой аэродинамики. В результате этого удается полностью выяснить смысл законов подобия. [24]
 |
Выбор распределений сеточных функций внутри дискретных ячеек. [25] |
Нижний целый индекс / в уравнениях (4.2.3) и (4.2.4) обозначает величины сеточных функций, отнесенные к центру масс / - го многоугольника, а нижний целый индекс j обозначает величины сеточных функций, отнесенных к центру у-й стороны сеточной ячейки. Верхний целый индекс k обозначает номер шага по времени. Соответствующие большие буквы в формулах обозначают глубину Н и скорость V на границах дискретных ячеек. Такие большие величины вычисляются из решения соответствующей задачи Римана для уравнений теории мелкой воды на границах дискретных ячеек. Коэффициент а задает способ аппроксимации по времени для члена системы уравнений, учитывающего рельеф дна. Аналогично коэффициент д задает аппроксимацию по времени для недифференциального члена f в разностных уравнениях. [26]
На рис. 4.8 представлены результаты решения одномерной задачи, которая является достаточно трудной для численного моделирования. Она формулируется следующим образом. В начальный момент времени вычислительная область 0 х L делится на 100 одинаковых дискретных ячеек. Начальная скорость полагается нулевой, дно считается горизонтальным. Физический процесс, описываемый данной задачей, интерпретируется как эволюция узкого 5-образного ( S ( x) - дельта-функция) плоского столба жидкости под действием гравитации в рамках уравнений теории мелкой воды. Отметим, что такой тест имеет несколько формальный характер, вследствие того что уравнения теории мелкой воды не учитывают, в частности, таких физически значимых эффектов как гидродинамическая неустойчивость или трехмерность реального течения. Однако этот тест удобно использовать для проверки численных алгоритмов. [27]
Эта формула совпадает с дисперсионным соотношением ( 3.10.11) с тем различием, что в разд. Отметим, что квазигеострофическая теория дает только низкочастотную волну Рос-сби. Более высокочастотные волны, такие, как моды Пуанкаре, ока-зываются отфильтрованными в силу априорного предположения о квази-геострофическом характере движения. В качестве компенсации мы получили, что волна Россби с конечной амплитудой является точным решением уравнения вихря ( 3.15.1), описывающего лишь низкочастотные движения. Общее ограничение движениями малой амплитуды при изучении волновых решений системы уравнений теории мелкой воды может быть тем самым ослаблено по крайней мере для решений вида плоской волны. [28]
На рис. 4.8 представлены результаты решения одномерной задачи, которая является достаточно трудной для численного моделирования. Она формулируется следующим образом. В начальный момент времени вычислительная область 0 х L делится на 100 одинаковых дискретных ячеек. Начальная скорость полагается нулевой, дно считается горизонтальным. Физический процесс, описываемый данной задачей, интерпретируется как эволюция узкого 5-образного ( S ( x) - дельта-функция) плоского столба жидкости под действием гравитации в рамках уравнений теории мелкой воды. Отметим, что такой тест имеет несколько формальный характер, вследствие того что уравнения теории мелкой воды не учитывают, в частности, таких физически значимых эффектов как гидродинамическая неустойчивость или трехмерность реального течения. Однако этот тест удобно использовать для проверки численных алгоритмов. [29]
Страницы: 1 2