Cтраница 2
Бесселя, определенная в (7.1) гл. Из того факта, что распределение аг удовлетворяет уравнению Чепмена - Колмогорова, вытекает его безграничная делимость. Соответствующую характеристическую функцию ы е легко вычислить, так как она отли чается от разложения Шлемильха [ (7.8) гл. [16]
Во второй главе рассматривается концепция ансамбля, уравнение Л иу вил ля и его решение, а также различные виды функций распределения. Здесь же дается представление о цепочке ББКГИ-уравнений и об уравнении Чепмена - Колмогорова. Большое внимание уделено анализу уравнения Лиувилля, проведенному Пригожиным. [17]
Как замечено в § 4.1, марковский процесс с обращенным направлением времени также является марковским процессом. Постройте иерархию функций распределения для такого обращенного марковского процесса и убедитесь в том, что его вероятность перехода удовлетворяет уравнению Чепмена - Колмогорова. [18]
По существу, это в точности матричное уравнение ( 46), только выписанное в явном виде. Согласно с тем, что сказано раньше, это М - уравнепие. В математической литературе оно известно как уравнение Чепмена - Колмогорова. Оно, конечно, является следствием наших допущений. [19]
Чтобы отсечь посторонние решения, нужно иметь граничные условия, способные их выделять. Хотя и возможно приступить к поискам таких условий, по-видимому, довольно неестественно строить граничные условия с целью исключения большого класса решений без всякой связи с физическими задачами. Более естественно, пожалуй, пользоваться системой уравнений, которая не имеет лишних решений. Такие уравнения получаются путем иного упорядочения членов в разложениях. Эту перегруппировку можно сделать апостериори, переразлагая решение уравнений Чепмена - Энскога по степеням средней длины свободного пробега и сохраняя решение Навье - Стокса в качестве главного члена. [20]
Но в некоторый промежуточный момент времени, скажем, , частица должна где-то находиться. Допустим, что в момент времени t частица находится в точке у. Так как будущее не зависит от прошлого, эта вероятность равна произведению двух вероятностей. Это - знаменитое уравнение, известное под разными названиями, в зависимости от того, говорит о нем математик или физик. В математической литературе оно носит название уравнения Чепмена - Колмогорова, хотя я совершенно не знаю, почему с ним связывается имя Чепыепа. Среди физиков это уравнение известно как уравнение Смолуховского, поскольку он его рассматривал весьма обстоятельно. Заметим, и это очень интересно, что сходное уравнение можно также написать в квантовой механике с той jftimb разницей, что в нем уже не будет плотности вероятности. Вместо нее выступает некоторая комплексная функция, называемая амплитудой вероятности. Одной из причин этого явления является то обстоятельство, что в квантовой механике мы уже не можем провести приведенное рассуждение. Мы не можем сказать, что если в момент времени t частица находится в каком-то месте, а в момент t - в другом месте, то в промежуточные моменты времени она должна тоже где-то находиться. [21]
В самой обширной четвертой главе приводятся различные выводы уравнения Больцмана, начиная с выводов самого Больц-мана, причем подчеркиваются все допущения, лежащие в основе вывода. Далее рассматриваются выводы уравнения Больцмана, которые даны Трэдом и Кирквудом. III, коротко был намечен вывод уравнения Больцмана, вытекающий из анализа Боголюбова. Сопоставление и анализ всех этих выводов основного кинетического уравнения интересны и поучительны. В качестве следствий, вытекающих из уравнения Больцмана, рассматриваются гидродинамические уравнения сохранения, а затем 0-теорема Больцмана и условия равновесия, приводящие к распределению Максвелла. Далее приводятся некоторые обоснования релаксационного уравнения Крука - Бхатнагара - Гросса и подчеркивается его нелинейный характер. Рассматриваются столкновения при дальнодействующих потенциалах взаимодействия и дается вывод уравнения Фоккера - Планка из уравнения Больцмана и из уравнения Чепмена - Колмогорова. Фоккера - Планка и дается представление о родственных кинетических уравнениях - уравнениях Ландау и Балеску - Ленарда. [22]
Основным предметом изучения в книге служат кинетические уравнения как часть более общей дисциплины - неравновесной статистической механики. В связи с этим показано, как ББКГИ-цепочка ведет к кинетическим уравнениям и как из последних следуют законы сохранения. Меньшая часть материала посвящена необратимости макроскопических систем и приближению к равновесию. Другая часть касается концепции напряжений и природы привносимых сюда вкладов кинетического и потенциального характера. Выясняется также различие между абсолютными и относительными гидродинамическими переменными. Это отражается в ББКГИ-цепочке, любая подсистема уравнений которой содержит больше неизвестных, чем уравнений. На данном уровне описания этот недостаток преодолеть нельзя, и он вновь возникает в уравнениях гидродинамики. Именно в связи с этой ситуацией и вводятся коэффициенты переноса. Обсуждается также роль уравнений Чепмена - Колмогорова в теории кинетических уравнений, описывающих марковские процессы. [23]