Cтраница 1
Уравнения Эрнста возникают в обшей теории относительности как двумерные редукции уравнений Эйнштейна для гравитационных полей в вакууме. В случае стационарных полей с осевой симметрией эти уравнения могут быть записаны в весьма элегантной форме [49] в виде одного нелинейного ( квазилинейного) уравнения эллиптического типа для одной неизвестной комплексной функции E ( p z), называемой потенциалом Эрнста. В другом двумерном случае, когда искомое решение зависит от времени и одной из пространственных координат, как, например, в случае плоских цилиндрических волн, а также для решений космологического типа, возникает аналогичное уравнение, но уже волнового ( гиперболического) типа, которое также принято называть уравнением Эрнста. [1]
В отношении системы электровакуумных уравнений Эрнста (5.2) следует отметить, что их внутренняя структура оказалась еще более богатой, что позволило, пользуясь сходной идеологией, развивать аналогичные подходы к их интегрированию. [2]
В работе [92] для уравнений Эрнста (5.2) рассмотрена процедура генерации решений другого типа, чем солитонные решения, построенные в [87], хотя эти решения также связаны с рациональной структурой на плоскости спектрального параметра матрицы фундаментального решения линейной спектральной задачи. [3]
Многообразие свойств внутренней структуры уравнений Эрнста, а также богатство физического и геометрического содержания разнообразных явно вычисляемых классов их частных решений делает уравнения Эрнста весьма содержательным и интересным примером интегрируемых систем. Несомненный интерес представляет как сходство этих уравнений с другими известными интегрируемыми системами, позволяющее применять уже известные общие схемы и методы, так-и их различия, которые могут подсказывать новые пути анализа структуры уравнений и их интегрируемости. [4]
В главе б будет рассмотрено уравнение Эрнста. [5]
Весьма интересен факт, что к уравнению Эрнста ( 5Л) приводит также двумерная редукция автодуальных уравнений Янга-Миллса в четырехмерном евклидовом пространстве для 577 ( 2) - халибровочных полей в предположении об их осевой симметрии и независимости от четвертой координаты, а также при выборе специальной калибровки. Поясним связь этих уравнений немного подробнее. [6]
Сознавая очевидную неполноту описания истории исследования интегрируемости уравнений Эрнста и вполне вероятное присутствие некоторой доли субъективизма в ее изложении, мы все же ограничимся здесь сделанным перечислением результатов и вернемся к основной теме настоящего обзора - описанию методов построения преобразований Беклунда для этих уравнений. [7]
Рассмотрим далее процедуру построения алгебры продолженных структур для уравнения Эрнста (5.1) и некоторых ее представлений. [8]
Более десяти лет назад было окончательно установлено, что как вакуумные уравнения Эрнста (5.1), так и электровакуумные уравнения Эрнста (5.2) представляют собой вполне интегрируемые системы. Это утверждение следует понимать здесь в том широком смысле, что эти уравнения, как выяснилось, имеют чрезвычайно богатую внутреннюю структуру, весьма сходную с той, которой обладают многие другие, хорошо известные и ставшие уже классическими примерами, вполне интегрируемые нелинейные уравнения. [9]
Упомянем здесь также более общие уравнения, которые также принято называть уравнениями Эрнста. [10]
Так, в первых же работах Киннерсли и Читра [56,57] исследовалась алгебра внутренних симметрии именно электровакуумных уравнений Эрнста. В работе [77] Хаусер и Эрнст обобщили свое интегральное уравнение на случай электровакуумных полей, однако полученные в этой работе некоторые семейства новых точных решений носили весьма частный характер. [11]
Более десяти лет назад было окончательно установлено, что как вакуумные уравнения Эрнста (5.1), так и электровакуумные уравнения Эрнста (5.2) представляют собой вполне интегрируемые системы. Это утверждение следует понимать здесь в том широком смысле, что эти уравнения, как выяснилось, имеют чрезвычайно богатую внутреннюю структуру, весьма сходную с той, которой обладают многие другие, хорошо известные и ставшие уже классическими примерами, вполне интегрируемые нелинейные уравнения. [12]
Так, вначале в ряде работ [52-54] были обнаружены различные частные преобразования симметрии для гравитационных полей, описываемых уравнениями Эрнста. Уже в первых двух работах этой серии Киннерсли и Читром была явно описана бесконечномерная алгебра внутренних симметрии уравнений Эрнста. [13]
Далее, Нейгебауером [78] был построен некоторый аналог интегрального уравнения Гельфанда-Левитана - Марченко на основе найденной ранее [70] спектральной задачи для уравнения Эрнста. [14]
Многообразие свойств внутренней структуры уравнений Эрнста, а также богатство физического и геометрического содержания разнообразных явно вычисляемых классов их частных решений делает уравнения Эрнста весьма содержательным и интересным примером интегрируемых систем. Несомненный интерес представляет как сходство этих уравнений с другими известными интегрируемыми системами, позволяющее применять уже известные общие схемы и методы, так-и их различия, которые могут подсказывать новые пути анализа структуры уравнений и их интегрируемости. [15]