Cтраница 2
Гаррисоном [68] был использован известный общий подход к анализу внутренней структуры вполне интегрируемых систем - метод Эстабрука-Уолквиста [31] и показано наличие у вакуумных уравнений Эрнста преобразований Беклунда. [16]
В последующих работах упомянутой выше серии [56- 63] были получены явные конечные формулы, отвечающие некоторым типам преобразований симметрии, позволившие генерировать многопараметрические семейства точных решений уравнений Эрнста. Весьма содержательное продолжение эти исследования получили в более поздних работах Хаусера и Эрнста [76, 77], где иыфинитезимальные преобразования, отвечающие бесконечномерной алгебре внутренних симметрии, были экспоненциированы, так что для вычисления соответствующих им групповых элементов требовалось решить некоторую однородную матричную задачу Римана-Гильберта. Эта задача была приведена к линейному матричному сингулярному интегральному уравнению, отличающемуся по своей структуре от интегрального уравнения, появившегося ранее в работе Белинского и Захарова, и построены некоторые семейства частных решений. [17]
В заключение нам хотелось бы подчеркнуть, что приведенные здесь элементы различных подходов и их взаимосвязи, с нашей точки зрения, достаточно наглядно свидетельствуют о наличии чрезвычайно богатой внутренней структуры интегрируемых систем и, в частности, рассматривавшегося более подробно уравнения Эрнста. Каждый из существующих подходов к описанию различных аспектов внутренней структуры вполне интегрируемых уравнений обладает своей красотой и, конечно же, заслуживает значительно более детального рассмотрения и анализа. Не надеясь в этом сравнительно кратком обзоре сколь-нибудь полно отразить разнообразные применения, а также все достоинства упомянутых здесь методов, мы хотели лишь выделить некоторые существующие взаимосвязи и аналогии, возникающие при рассмотрении различных случаев интегрируемости и подходов к построению преобразований Беклунда, что может способствовать формированию более общих представлений о структуре интегрируемых уравнений, выделению наиболее общих свойств и закономерностей, а также помочь выделить на этом фоне специфические особенности некоторых из рассматриваемых уравнений, которые могут указывать новые пути к их интегрированию. [18]
В случае уравнения Эрнста в упомянутых здесь преобразованиях Беклунда никаких дополнительных параметров нет, однако входящие в них дифференциальные операторы уже образуют бесконечную алгебру. [19]
Так, на основе аналогии матричных уравнений, эквивалентных уравнениям Эрнста, и уравнений нелинейной г-модели Мэйсоном [64,65] была высказана уверенность в том, что эти уравнения являются вполне интегрируемыми н более того, ему удалось построить для них некоторое подобие представления Лакса. Практически одновременно с этим Белинский и Захаров [66, 67] не только построили некоторую спектральную задачу, но и применив для нее метод одевания, явно вычислили JV-солитониые решения, а также свели задачу построения решений несолитонного типа к матричной задаче Римана на плоскости вспомогательного комплексного ( спектрального) параметра. [20]
Так, вначале в ряде работ [52-54] были обнаружены различные частные преобразования симметрии для гравитационных полей, описываемых уравнениями Эрнста. Уже в первых двух работах этой серии Киннерсли и Читром была явно описана бесконечномерная алгебра внутренних симметрии уравнений Эрнста. [21]
Примечательно, что это интегральное уравнение, определенное на некотором разрезе на плоскости вспомогательного комплексного ( спектрального) параметра, имеет вполне классический вид, а вся информация о структуре уравнений Эрнста заключается в структуре его ядра и виде разреза. Обширные семейства точных решений ( более широкие, чем солнтонные решения, возникающие в результате преобразований Беклунда или применения метода одевания) могут быть вычислены явно с помощью элементарной теории вычетов и чисто алгебраических операций. Кроме того, появляется возможность рассмотрения чисто локальным путем разнообразного типа граничных задач и построения линейного алгоритма их решения. [22]
Уравнения Эрнста возникают в обшей теории относительности как двумерные редукции уравнений Эйнштейна для гравитационных полей в вакууме. В случае стационарных полей с осевой симметрией эти уравнения могут быть записаны в весьма элегантной форме [49] в виде одного нелинейного ( квазилинейного) уравнения эллиптического типа для одной неизвестной комплексной функции E ( p z), называемой потенциалом Эрнста. В другом двумерном случае, когда искомое решение зависит от времени и одной из пространственных координат, как, например, в случае плоских цилиндрических волн, а также для решений космологического типа, возникает аналогичное уравнение, но уже волнового ( гиперболического) типа, которое также принято называть уравнением Эрнста. [23]
В главе б будет рассмотрено уравнение Эрнста. Это будет сделано несколько более подробно, чем в случае других уравнений, по следующим причинам. Во-первых, уравнение Эрнста является достаточно важным уравнением математической физики, связанным с другими уравнениями теории поля, которое в то же время не часто встречается в общих контекстах, где рассматриваются одновременно различные примеры интегрируемых уравнений. Во-вторых, в последующем мы намереваемся рассмотреть связь между ПБ и другими методами генерации решений и, в первую очередь, с методом одевания, причем это рассмотрение предполагаем сделать именно на примере уравнения Эрнста, для которого эти методы хорошо разработаны. [24]
Изучаются алгебраические структуры, связанные с преобразованиями - Беклунда нелинейных дифференциальных уравнений. Дано изложение метода продолженных структур Уолквиста-Эстабрука и описаны его связи с преобразованиями Беклунда и F - G-парами интегрируемых уравнений. В качестве примеров рассмотрены уравнения Кортевега-де Вриза, Лиувилля и синус - Гордона. Разработаны преобразования Беклунда цепочек Тоды, имеющие непосредственную групповую интерпретацию. Подробно исследованы продолженные структуры уравнения Эрнста, показано, как с их помощью строятся его преобразования Беклунда. [25]
В главе б будет рассмотрено уравнение Эрнста. Это будет сделано несколько более подробно, чем в случае других уравнений, по следующим причинам. Во-первых, уравнение Эрнста является достаточно важным уравнением математической физики, связанным с другими уравнениями теории поля, которое в то же время не часто встречается в общих контекстах, где рассматриваются одновременно различные примеры интегрируемых уравнений. Во-вторых, в последующем мы намереваемся рассмотреть связь между ПБ и другими методами генерации решений и, в первую очередь, с методом одевания, причем это рассмотрение предполагаем сделать именно на примере уравнения Эрнста, для которого эти методы хорошо разработаны. [26]