Cтраница 2
А ( у ш), пропускающего основную частоту с коэффициентом усиления А, но не пропускающего все высшие гармоники, и имеется также нелинейный элемент /, который можно выразить приближенно кубичным уравнением. [16]
Если уравнение ( 6) действительно, то ( в тех случаях, когда это возможно) следует брать действительные значения этих корней. Если кубичное уравнение ( 6) действительно, то оно имеет или один действительный корень и два сопряженных комплексных корня, или три действительных корня, по крайней мере два из которых равны, или три различных действительных корня в зависимости от того, будет ли Q соответственно положительно, равно нулю или отрицательно. [17]
Пусть неполное кубичное уравнение ( 6) действительно. [18]
Когда имеет постоянное значение, а х, у, z представляют собой текущие координаты, то это равенство служит уравнением некоторой цен тральной поверхности второго порядка. Если же дадим х, у, z какие-либо постоянные значения, то оно обращается в кубичное уравнение относительно 1, имеющее, как сейчас убедимся, три действительных корня. [19]
Когда имеет постоянное значение, а х, у, г представляют собой текущие координаты, то это равенство служит уравнением некоторой центральной поверхности второго порядка. Если же дадим х, у, г какие-либо постоянные значения, то оно обращается в кубичное уравнение относительно, имеющее, как сейчас убедимся, три действительных корня. [20]
Формулы вычисления корней уравнения четвертой степени в общем случае весьма громоздки, и мы их приводить не будем. Укажем лишь, что корни уравнения четвертой степени могут быть представлены в виде комбинаций корней некоторого кубичного уравнения, соответствующего данному уравнению четвертой степени. [21]
Попытки извлечения из комплексных чисел, заданных в виде a - j - й /, корней более высокой степени, чем вторая, встречаются с непреодолимыми затруднениями. Так, если бы мы захотели таким же методом, как выше, извлечь из числа а - - Ы кубичный корень, то должны были бы решить некоторое вспомогательное кубичное уравнение, чего мы пока не умеем и что в свою очередь требует, как мы узнаем в § 38, извлечения кубичного корня из комплексного числа. [22]
Во-первых, квадратное и кубичное уравнения могут быть равносильны ( например, уравнения х2 О и х3 0 имеют оба единственный корень х 0) и, во-вторых, как мы убедимся ниже, уравнения ( 4) и ( 5) могут быть равносильны, даже если ( 6) и ( 7) - неравносильны. Именно в этом и состояла вторая допущенная ошибка. В самом деле, на первый взгляд представляется совершенно очевидным, что наша задача свелась к следующей: при каких а уравнение ( 7) имеет лишь корни О и / 2 - Но в действительности, если не забывать, что у sinx, тег можно указать еще одну возможность, для того чтобы значение а было подходящим: если уравнение ( 7) имеет корни 0, / 2, а третий его корень у3 по модулю больше 1, то уравнения ( 4) и ( 5) равносильны - соответствующее значение sin ys не даст уравнению ( 4) дополнительных решений. [23]
Так, многие сразу решили, что требуемых значений а не существует, поскольку уравнение ( 6) квадратное, а уравнение ( 7) кубичное, и следовательно, они не равносильны, так как имеют разное число корней. Во-первых, квадратное и кубичное уравнения могут быть равносильны ( например, уравнения х2 0 и х3 0 имеют оба единственный корень х 0) и, во-вторых, как мы убедимся ниже, уравнения ( 4) и ( 5) могут быть равносильны, даже если ( 6) и ( 7) - неравносильны. [24]
Так, многие сразу решили, что требуемых значений а не существует, поскольку уравнение ( 6) квадратное, а уравнение ( 7) кубичное, и следовательно, они не равносильны, так как имеют разное число корней. Во-первых, квадратное и кубичное уравнения могут быть равносильны ( например, уравнения х2 О и х3 О имеют оба единственный корень х 0) и, во-вторых, как мы убедимся ниже, уравнения ( 4) и ( 5) могут быть равносильны, даже если ( 6) и ( 7) - неравносильны. [25]