Cтраница 2
Соотношение At О ( А /) 2 не является следствием самой природы параболических дифференциальных уравнений и вызывается лишь несовершенством явных сеточных методов применительно к этим уравнениям. [16]
Как известно, М. И. Вишик [1] - [6] выделил важные классы граничных задач для эллиптических и параболических дифференциальных уравнений с частными производными и доказал их разрешимость в пространствах Соболева. В своей основной части метод Вишика заключался в конечномерной аппроксимации уравнения модифицированными приближениями типа Галеркина и в доказательстве сходимости галеркинских приближений к решению рассматриваемого уравнения. [17]
Конкретизируем результаты предыдущего пункта для случая, когда S определяется как оператор решения некоторого параболического дифференциального уравнения. [18]
Так как решение стохастического дифференциального уравнения нечувствительно к вырождению матрицы b ( s, x), то вероятностные методы применялись для построения решений вырождающихся эллиптических и параболических дифференциальных уравнений. [19]
Рассматриваются оптимальные методы решения задач математической физики. Для параболических дифференциальных уравнений предложен асимптотически оптимальный алгоритм с линейной комбинаторной сложностью. [20]
Ласе и Ли ( 1968 г.) применили теорему Ильина, Калашникова и Олейника ( 1962 г.) к модели частицы катализатора. Принцип максимума дает ограничение траекторий широкого класса параболических дифференциальных уравнений в частных производных. [21]
Ласе и Ли ( 1968 г.) применили теорему Ильина, Калашникова и Олейника ( 1962 г.) к модели частицы катализатора. Принцип максимума дает ограничение траекторий широкого класса параболических дифференциальных уравнений в частных Производных. [22]
Однако это основное направление дополняется двумя другими темами. Во-пер иых, оказывается, что развитый для гиперболических уравнений энергетический метод почти автоматически распространяется на параболические уравнения; более точно - на 2& - параболические дифференциальные уравнения с переменными коэффициентами. Этот класс уравнений также был введен Петровским как обобщение урапнсния теплопроводности на случай уравнений ( систем) высокого порядка. Для этих уравнений смешанная задача, как и задача Коши, традиционно исследуется при помощи адекватных оценок и той или иной формы параметрикса Леви. Лере позволяет также полностью изучить разрешимость задачи Коши и смешанной задачи для параболических уравнений. Единственное сшсстисшюе изменение, которое нужно сделать во всех конструкциях, это рассматриннгь вместо обычных старших однородных частей операторов старшие квазиоднород. Последним обстоятельством объясняется, почему в заглавии книги фшурнруст термин юшиодпороднш. [23]
В работе А. А. Белолипец-кого и А. М. Тер-Крикорова [23] была аналитическими методами малого параметра исследована задача эволюции стационарного решения нелинейного параболического уравнения после потери им устойчивости. Было показано, что существуют некоторые двухпараметрические семейства неоднородных по пространству однородных решений, к которым при выполнении некоторых условий эволюционирует решение с произвольными начальными условиями. В работе [24] эти же авторы обобщили полученное решение на случай абстрактного нелинейного параболического дифференциального уравнения для того случая, когда бифуркация происходит в окрестности простого собственного значения линеаризированной задачи. В работе [25] были получены более общие результаты уже для уравнений реакции-диффузии. [24]
Изучаемые нами задачи можно рассматривать как задачи асимптотического исследования интегралов в функциональном пространстве, а основной метод, которым мы пользуемся - как бесконечномерное обобщение известного метода Лапласа. Эти конструкции примыкают к современным исследованиям по асимптотическим методам. В тех случаях, когда в результате воздействия возмущений получаются диффузионные процессы, мы приходим к задачам, тесно связанным с эллиптическими и параболическими дифференциальными уравнениями с малым параметром. Из наших рассмотрений вытекают некоторые новые результаты о таких уравнениях. [25]
Когда процесс понят в такой степени, что можно уже записать математическую модель, часто обнаруживается, что модели даже для малых участков исключительно сложны. Например, для описания одной дистилляционной колонны может потребоваться несколько сотен совместных нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений. Для описания теплообменника требуется большое количество совместных дифференциальных уравнений в частных производных. Однако режим работы такого оборудования часто сравнительно прост, и можно ожидать, что описание окажется более экономичным. Здесь существует потребность в общих методах упрощения систем уравнений с учетом существенных особенностей решения. Если уравнения являются совместными обыкновенными линейными дифференциальными уравнениями с постоянными коэффициентами, то часто упрощение можно сделать с учетом типа системы. Другой метод позволяет заменить системы совместных гиперболических дифференциальных уравнений в частных производных одним параболическим уравнением. Третий метод дает возможность при соответствующих условиях представить параболическое дифференциальное уравнение второго порядка в частных производных разностной аппроксимацией первого порядка. [26]