Cтраница 2
Иначе говоря, исследование многих задач фактически распадается на три независимые части: переход к интегральному уравнению, затем исследование соответствующего интегрального выражения как оператора, действующего в функциональных пространствах и, наконец, применение общих методов функционального анализа исследования линейных и нелинейных операторных уравнений. [16]
Важнейшие итерационные методы приближенного решения уравнения ( 3) как относительно общего вида, так и специального вида, характерного для дискретных ( сеточных) методов решения краевых задач для уравнений и систем уравнений с частными производными сильно эллиптич. Нелинейные операторные уравнения, связанные с рассмотрением бесконечномерных пространств ( см., напр. Численные методы их приближенного решения включают в себя также методы их аппроксимации конечномерными уравнениями; эти методы рассматриваются отдельно. [17]
К нелинейным операторным уравнениям приводят также нек-рые задачи математич. [18]
Приводятся методы получения решений линейных несамосопряженных операторных уравнений посредством аппроксимаций элемента и разложений элементов в ряд, изучаются корневые элементы оператора, формулируются теоремы представления решения с помощью этих элементов оператора, излагаются вариационные методы решения уравнений, в том числе и с переменными операторами, анализируются некорректно поставленные задачи. Для систем нелинейных операторных уравнений, включающих элементы из различных банаховых пространств, изложены приближенные методы их решения в основном для случая, когда оператор системы есть оператор сжатия. [19]
Многие задачи требуют решения или исследования нелинейных операторных уравнений. Часто встречаются нелинейные интегральные уравнения. К ним, в частности, сводятся многие нелинейные краевые задачи как для обыкновенных уравнений, так и уравнений с частными производными. [20]
Книга состоит из пяти глав. Изложение начинается некоторыми сведениями из теории слабо нелинейных операторных уравнений, теории пространств Орлича, теории классов Лдамара и квазианалитичности функций вещественных неременных ( гл. Здесь же приводятся критерии Мандельбройта - Банга и Лелона о квазианалитических классах функций, которые будут играть важную роль в дальнейшем. [21]
Монография посвящена ряду фундаментальных задач теории нелинейных волн и важнейшим строгим результатам их исследования. На основе современных топологических методов, методов теории ветвления нелинейных операторных уравнений рассмотрены уравнения теории нелинейных волн: А. И. Некрасова, Кортевега - де Фриза, Бюргера, Уизема и др. Описаны методы, позволяющие установить существование решений и проводить их построения: метод Ляпунова - Шмидта, метод осредненных лагранжианов Уизема, метод обратной задачи рассеяния и др. Высокий математический уровень книги сочетается с доступностью изложения. Для чтения книги достаточно знакомства с элементами функционального анализа, которые компактно изложены в приложении. [22]
При математическом моделировании физических процессов и явлений часто возникают нелинейные задачи математической физики, среди которых хорошо известные уравнения Монжа-Ампера, Навье-Стокса, Колмогорова-Петровского и др. Вместе с граничными и начальными условиями нелинейные уравнения приводят к постановкам нелинейных краевых задач. Нелинейные краевые задачи могут быть сформулированы в свою очередь как операторные уравнения в функциональных пространствах. Для решения нелинейных операторных уравнений в последние годы разработан мощный аппарат в нелинейном функциональном анализе. Одним из основных методов исследования нелинейных уравнений является вариационный метод, с помощью которого решение исходного уравнения сводится к задаче отыскания критических точек некоторого функционала. Важную роль играют и методы минимизирующих последовательностей, среди которых метод наискорейшего спуска, метод Ритца, метод Ньютона-Канторовича. Одним из наиболее распространенных методов исследования и численного решения нелинейных задач является метод Галеркина-Петрова, суть которого состоит в том, что исходное уравнение проектируется на конечномерное подпространство, а приближения к решению ищутся в ( возможно) другом подпространстве. Классический метод возмущений позволяет находить решения нелинейных задач путем разложения их по малому параметру. Эти методы находят широкое применение к решению нелинейных задач математической физики. [23]
Изложенные выше методы были реализованы в общедоступной системе Microsoft Excel ( меню Сервис, команда Поиск решения) для численного решения ряда характерных тестовых примеров. Здесь приводятся некоторые сравнительные результаты решения трех вырожденных систем нелинейных уравнений. Первые две системы взяты из статьи А. Ф. Измайлова и А. А. Третьякова [35], где предложен итерационный 2-факторметод ( 2Ф) решения вырожденных нелинейных операторных уравнений с гладким оператором. Этот метод основан на предположении, что производная точного оператора, являющаяся вырожденным линейным оператором, топологически дополняемо некоторым линейным подпространством до невырожденного оператора. Последний строится с помощью проектора на дополняющее подпространство, действующего на вторую производного исходного оператора. Построение основано на сингулярном анализе производной возмущенного оператора. Авторы [35] демонстрируют 2Ф - метод на примерах вырожденных двумерных систем нелинейных уравнений с фиксированными возмущениями. [24]