Cтраница 2
Суть этого метода состоит в том, что мы добавляем к исходному уравнению эллиптический оператор, умноженный на е, так что при е О получающееся в результате уравнение будет эллиптическим, а при заданных граничных условиях краевая задача станет коэрцитивной - даже если наше первоначальное уравнение не было эллиптическим. Таким образом, мы исходим из того, что теоремы о дифференцируемости хорошо известны для коэрцитивных эллиптических задач, и хотим свести вопросы о дифференцируемости решений наших задач к соответствующим вопросам для коэрцитивных задач. Подобная схема часто применялась раньше; например, некоторые нелинейные гиперболические уравнения превращали в параболические путем прибавления так называемого вязкого члена. Мы решили воспользоваться этим приемом, прослушав лекцию Лионса [9], который, изучая параболические уравнения, подобным же образом превращал их в эллиптические. [16]
Задачи трехмерного пластического течения весьма трудны и мало изучены. Томас), рассматриваемая система уравнений, как правило, эллиптическая. Лишь в отдельных задачах ( плоская деформация, кручение и некоторые другие случаи) уравнения имеют вещественные характеристики. Поскольку нелинейные гиперболические уравнения легче поддаются анализу и при этом существенно упрощается постановка краевых задач, предпринимались попытки раздвинуть границы гиперболичности. Иногда это достигается использованием условия текучести Треска - Сен-Венана. Томасом, которому принадлежит систематический анализ разрывов в пластической среде. [17]
Система уравнений ( 41) - ( 44) принадлежит к гиперболическому типу уравнений в частных производных. Поскольку скорость а является функцией давления р, то эта система нелинейна. Существует ряд методов решения систем уравнений гиперболического типа. Одним из наиболее распространенных является метод характеристик. Трудность решения нелинейных гиперболических уравнений этим методом возникает из-за того, что в первоначальном решении могут появиться величины, характеризующие образование ударных волн. [18]
Изложение организовано следующим образом. В § I приведены необходимые для дальнейшего свойства строго гиперболических символов. Используя результаты § и модифицируя метод разделяющего оператора Лере, мы выводим в § 2 энергетические оценки для строго гиперболических уравнений в пространствах функций, определенных па всей оси времени. Четвертый параграф посвящен доказательству обратимости строго гиперболических операторов в пространстве функций, равномерно ограниченных на всей оси времени. В § 5 рассматриваются начальные задачи с условиями роста на бесконечности. Пользуясь результатами § § 4 5, в шестом параграфе устанавливаются свойства экспоненциальной дихотомии и экспоненциального расщепления. Последний, восьмой параграф посвящен нелинейным гиперболическим уравнениям. На неформальном уровне приводятся некоторые результаты, обобщающие соответствующие результаты для линейных уравнений, и даются литературные указания. [19]