Cтраница 2
Электромагнит ( см. рисунок) является примером возбудителя колебаний подверженного заданным немеханическим воздействиям и описываемого неавтономными уравнениями движения, Вследствие необходимости рассматривать электромагнитные процессы в возбудителе и неавтономности уравнений движения теория систем с электромагнитами существенно отличается от изложенной выше теории систем с механическими возбудителями и должна быть отнесена к другому разделу теории систем с ограниченным возбуждением, Однако решение задачи о колебаниях под воздействием электромагнитов также можно представить через гармонические коэффициенты влияния. [16]
В последующих разделах будет обсуждаться значение этого вопроса для качественной теории, будут даны также некоторые частные результаты для автономных и неавтономных уравнений. [17]
Доказано несколько вариантов теоремы Красовского о существова-нин функции Ляпунова с положительной производной в силу уравнения в окрестности лроизнолыюго инвариантного множества для неавтономного уравнения. Показано, в частности, что для периодического уравнения существует периодическая функция Ляпунова, для почти-периодического уравнения - почти-периодическая функция Ляпунова, для однородного уравнения - однородная функция Ляпунова. Построена также глобальная функция Ляпунова для неавтономного уравнения, не имеющего цикла, несобственного седла и имеющего не более счетного множества шшариаитных множеств. Функции Ляпунова ис-пользонаны для построения изолирующих блоков инвариантных множеств. С применением функций Ляпунова изложено решение проблем различения в окрестности исключительного направления или исключительного конуса: проблемы единственности траектории, входящей в. [18]
Теория характеристических функционалов, развитая в первой части этого параграфа, позволяет при определенных предположениях сделать аналогичные выводы и о поведении решений неавтономных уравнений. [19]
Системы с конечным числом степеней свободы хорошо моделируются обыкновенными дифференциальными уравнениями: линейными либо нелинейными, автономными либо неавтономными. Наибольшую трудность для исследования представляют собой неавтономные уравнения. Поэтому внимание многих специалистов сосредоточено на разработке методов, позволяющих исследовать такие системы. Один из недавно предложенных подходов опирается на идею построения предельной системы для заданного уравнения с последующим использованием качественных свойств ее решений. В настоящей главе излагаются результаты, полученные в этом направлении на основе концепции Миллера - Селла построения предельной системы. [20]
Тогда каждое решение уравнения ( 1) с начальным условием из К продолжается вправо ( влево) либо до границы множества К, либо неограниченно по времени. Решение неавтономного уравнения с начальным условием из компакта в расширенном фазовом пространстве продолжается До границы этого компакта. [21]
Доказано несколько вариантов теоремы Красовского о существова-нин функции Ляпунова с положительной производной в силу уравнения в окрестности лроизнолыюго инвариантного множества для неавтономного уравнения. Показано, в частности, что для периодического уравнения существует периодическая функция Ляпунова, для почти-периодического уравнения - почти-периодическая функция Ляпунова, для однородного уравнения - однородная функция Ляпунова. Построена также глобальная функция Ляпунова для неавтономного уравнения, не имеющего цикла, несобственного седла и имеющего не более счетного множества шшариаитных множеств. Функции Ляпунова ис-пользонаны для построения изолирующих блоков инвариантных множеств. С применением функций Ляпунова изложено решение проблем различения в окрестности исключительного направления или исключительного конуса: проблемы единственности траектории, входящей в. [22]
Так же как и в случае периодических колебаний, важно различать автоколебания и вынужденные движения. Хаотические автоколебания описываются автономными уравнениями, поэтому все моменты времени эквивалентны. Есть много примеров хаотических движений в нелинейных системах с периодической внешней силой, они описываются неавтономными уравнениями. [23]
В настоящем разделе обсуждается формула вариации постоянных для линейных неоднородных систем. Лишь для очень немногих результатов этого раздела будут приведены доказательства, так как эти результаты весьма похожи на полученные для ЗФДУ, хотя и возникает много новых технических деталей. Литература, содержащая подробные доказательства и обобщения на неавтономные уравнения, указана в разд. [24]
Однородная жидкость, целиком заполняющая замкнутую полость, совершающую колебательное поступательное движение, может находиться в покое относительно полости. Более того, нетрудно убедиться, что такое состояние устойчиво: в системе отсчета, связанной с границами полости, все возмущения затухают. Иначе обстоит дело в случае неоднородной жидкости: эта неоднородность может быть различной природы - как следствие наличия примеси, неоднородного нагрева, границы раздела между жидкостями с различными свойствами, наконец, просто наличия свободной поверхности. Вообще говоря, в этом случае покой жидкости невозможен, а в тех специальных ситуациях, когда равновесие возможно, оно может оказаться неустойчивым. Решение точных неавтономных уравнений гидродинамики сопряжено с большими техническими трудностями. Однако если вибрации имеют высокую частоту и малую амплитуду, часто для приближенного описания движения возможно эффективное разделение переменных на быстроосциллирующие и медленные средние части, для которых методами осреднения можно получить сравнительно простые уравнения. В данной главе реализован такой подход как для объемно неоднородных ( стратифицированных) сред, так и для систем с границей раздела. [25]
Задачи о взаимодействии источника возбуждения с колебательной системой ( их называют еще задачами о колебаниях систем с ограниченным возбуждением и задачами о возбуждении вибраций) выделились в настоящее время в специальный раздел теории колебаний, который далеко еще не завершен. В него включают только нелинейные задачи, хотя некоторые типы взаимодействия описываются линейными уравнениями. Значительное место в этом разделе отводится системам, в которых силы, вызывающие колебания, создаются за счет электромагнитного ( а не механического) воздействия. В задачах этою класса чаще всего целесообразно исследовать автономные уравнения движения. Однако в некоторых случаях задача может сводиться и к неавтономным уравнениям. [26]