Cтраница 2
Само собой разумеется, что, прибегая к строгим до-казательстваш, надо держаться в разумных пределах, не стремясь всегда сводить все к аксиомам, помнить, что понятие строгости является относительным и историческим. Уровень строгости должен соответствовать уровню обучаемых. Он определяется, прежде всего, уровнем подготовки учащихся, целью их обучения и потребностью практики в широком смысле этого слова. [16]
Далее, здесь предполагается подтвердить теоретико-методологическую предпосылку, согласно которой уровень строгости в математике не может быть исторически инвариантным, что связано с наличием интуитивного элемента в развивающейся математической теории, в том числе и в период ее исторической аксиоматизации. Зафиксированный в историко-математической литературе рост уровня строгости в математике был бы невозможен без исторической трансформации неявных элементов математической теории в явные, имеющей место в определенных границах, которые также будут здесь выявлены. Методологически важно, что сама концепция неявного знания позволяет эффективно проводить историко-математйческие исследования и выстраивать разрозненные, казалось бы, исторические факты в единую гносеологическую и методологическую линию, что и делает возможным, в конечном счете, достижение основных целей настоящего исследования. [17]
Если же количество измерений ограничено определенным числом, то имеется иной способ влияния на вероятность ошибок. Этот способ состоит в задании уровня строгости испытаний, по которым принимается решение о принятии либо Я0, либо Я Для этой ситуации характерно следующее. [18]
Эта книга отличается от традиционных учебников аналитической геометрии по крайней мере в двух отношениях. Во-первых, в ней сделана попытка привести изложение аналитической геометрии на уровень строгости и формализации, давно уже достигнутый в учебниках алгебры и анализа. Во-вторых, помимо общеобязательных, стандартных вещей, в ней изложено довольно много материала либо никогда ранее в учебники не включавшегося, либо давно из учебников исключенного. [19]
В последующем тексте не будет ни аккуратных математических определений, ни ( тем более) строгих доказательств: мы будем обращаться с математикой примерно так же вольно, как это делают физики. Тем не менее обмана не будет: все последующие определения и рассуждения можно довести до математического уровня строгости, и в абзацах, набранных мелким шрифтом, объясняется, как это сделать. [20]
Уровень строгости при изложении материала соответствует обычно принятому во втузовских курсах. Быть может, некоторым читателям этот уровень покажется недостаточным; однако он выбран сознательно: автор не считает возможным повышать уровень строгости за счет отказа от наглядных представлений. [21]
Тема школьного учебника - именно та единица учебного материала, которая позволяет раскрыть логическую и математическую организацию и трактовку взаимосвязанных между собой вопросов, выяснить уровень строгости рассматриваемых фактов, сравнительно четко выделить и сформулировать цели изучения основных вопросов, очертить возможные варианты средств обучения, продумать систему контроля и оценки законченной системы знаний и умений. [22]
Один из лейтмотивов первой главы находит свое явное воплощение в § 6, где речь идет об аксиоматике Колмогорова и продолжении вероятностной меры. Тот факт, что процесс определения вероятности событий с формальной точки зрения подобен определению понятия площади фигур, как мне представляется, должен быть освещен уже на начальном периоде обучения, особенно если речь идет о математической аудитории. Уровень строгости здесь может быть разный. В § б, отмеченном как более трудный звездочкой, можно при первом чтении ознакомиться с несколькими начальными страницами, где разбираются свойства аксиоматического объекта теории - вероятностного пространства. [23]
Этот интуитивно прозрачный результат в определенном смысле - стержневой. Его доказательство распутывает все остальное, включая критерий Коши. Уровень строгости, естественно, определяется выбором теории вещественных чисел. В нашем варианте у растущей и ограниченной последовательности с увеличением п перестает меняться все большее число знаков после запятой. [24]
Материал этой книги доступен каждому, знакомому с преобразованием Лапласа, его комплексной формулой обращения и с интегрированием в комплексной плоскости. В первой главе мы излагаем вопросы, не входящие в обычный начальный курс теории функций комплексного переменного, и знакомим читателя с преобразованиями Фурье в комплексной области. Эта книга предназначается для лиц, интересующихся приложениями теории в большей степени, чем самой теорией; поэтому уровень строгости изложения может не удовлетворить математиков-теоретиков, но для практического применения этот уровень вполне достаточен. [25]
Теория индуцированных шумом переходов базируется на современной математической теории случайных процессов. Лефевра выгодно отличают доступность и большая ясность изложения. Авторы не перегружают свое изложение деталями математических доказательств, но в то же время сохраняют уровень строгости, позволяющий затронуть самые современные результаты теории случайных процессов. Это математическое введение, ориентированное на решение конкретных задач, представляет большую ценность. [26]
Не надо думать, что все, кто хочет включить геометрию в линейную алгебру, желают ей зла. Сами они изучали геометрию по системе, о которой сегодня знают, что это была лишь кажущаяся система. Желая спасти геометрию, они стремятся включить ее в какую-либо пригодную для этого систему; при этом они не уклоняются от того, чтобы выбросить все, что не укладывается в это прокрустово ложе. Они считают, что если геометрия хочет сохранить свое положение в математическом образовании, ей следует стать строгой. Систематики знают лишь один уровень строгости и думают, что все, что находится ниже него, - надувательство, а все, что выше него, - ненужные тонкости. Этим требованиям они хотят подчинить и геометрию. [27]