Cтраница 3
В первой из этих теорем Нетер показала, каким образом каждая однопараметрическая группа вариационных симметрии приводит к закону сохранения для уравнений Эйлера - Лаг-ранжа. Таким образом, например, сохранение энергии происходит из инвариантности вариационной задачи относительно группы сдвигов по времени, а сохранение импульса и момента количества движения отражает инвариантность этой системы относительно сдвигов и вращений. Глава 4 посвящена так называемой классической форме этой теоремы Нетер, в которой рассматриваются только геометрические типы групп симметрии. Общий результат делает необходимым введение обобщенных симметрии. Это группы, ин-финитезимальные образующие которых зависят не только от независимых и зависимых переменных системы, но также и от производных от зависимых переменных. Соответствующие групповые преобразования не будут больше геометрически действовать на пространстве независимых и зависимых переменных, поточечно преобразуя график функции. Теперь это нелокальные преобразования, которые находятся путем интегрирования эволюционной системы уравнений с частными производными. Каждая однопараметрическая группа симметрии вариационной задачи, либо геометрических, либо обобщенных, будет приводить к закону сохранения и, обратно, каждый закон сохранения получается таким способом. Условию нормальности удовлетворяет большинство физически важных систем дифференциальных уравнений; анормальные системы - это в сущности системы с нетривиальными условиями интегрируемости. [31]