Cтраница 2
Можно показать, что определенное таким образом скалярное произведение удовлетворяет условиям (11.1) - (11.4) ( если, разумеется, им удовлетворяет исходное скалярное произведение, что и предполагается), при этом существенно используется условие положительной определенности оператора. Например, для условий (11.3) и (11.4) имеем [ и, и ] ( Аи, и) у2 и 2, и поэтому, если ( Аи, и) 0, то необходимо 0 и, следовательно, и - нулевой элемент. [16]
Отличие вариационных постановок задач первого типа от классических ( не контактных) заключается в необходимости удовлетворения дополнительным ограничениям на допустимые функции, имеющим форму неравенств. Известное условие положительной определенности потенциальной энергии деформации обеспечивает и здесь единственность решения и его существование. В частности, если вариационная задача есть задача минимизации полной энергии системы контактирующих линейно упругих тел, то ограничение - неравенство, отражающее физическое требование непроникания, выделяет из множества допустимых к сравнению функций выпуклое подмножество; как хорошо известно, задача минимизации положительно определенного ( выпуклого) функционала при некоторых дополнительных ограничениях на гладкость границы области имеет решение и это решение только одно. [17]
В результате некоторые из матриц Hk оказываются вырожденными или не удовлетворяют условию положительной определенности. [18]
Если по условию Ik является выпуклым функционалом относительно оптимизируемых параметров, то матрица А должна быть положительно определенной. Однако ошибки вычислений могут привести к тому, что элементы матрицы А будут определены с погрешностями и в итоге матрица А может не удовлетворять условию положительной определенности. Возникает задача сглаживания, исправления матрицы А путем малых вариаций ее элементов. Эта задача может быть сформулирована в терминах инверсной чувствительности собственных значений матрицы А. По условию А - вещественная симметричная матрица, а значит, и все ее собственные значения вещественны. [19]
В случае сфероидов Маклорена вековые неустойчивости относительно вязких и радиационных потерь возникают одновременно. Условие положительной определенности Ес для всех нетривиальных смещений обеспечивает устойчивость относительно гравитационного излучения, но не относительно вязкой диссипации. Тензорная вириальная пробная функция не ортогональна тривиальным смещениям и потому не позволяет проанализировать этот случай. [20]