Cтраница 2
А, и в этих случаях и в случае функции (20.7) необходимое условие минимума приводит к нелинейной относительно А системе уравнений. [16]
Если все Ki отрицательны или равны нулю, то и удовлетворяет классическим необходимым условиям минимума и итерации заканчиваются. [17]
Читатель, знакомый с началами математического анализа, наверняка вспомнит, что необходимое условие минимума функции в данной точке - это равенство нулю ее первой производной. [18]
При решении экстремальных задач важное значение имеет выяснение признаков оптимальности решения ( необходимых условий минимума), по которым можно определить, является ли данное решение оптимальным. Знание таких признаков иногда позволяет получить довольно полное качественное описание свойств оптимального решения или предложить методы последовательных приближений для поиска оптимального решения, как это было в случае градиентного метода. [19]
Здесь первое уравнение ( условие Вейрштрасса - Эрдмана) необходимое условие экстремума, а второе - необходимое условие минимума. Выражение (2.8) дает и концевые условия. [20]
Теперь, когда мы выработали правильную постановку задачи оптимального управления и имеем удовлетворительные теоремы существования, подкрепленные необходимыми условиями минимума, которые дает принцип максимума, можно считать, что заложен достаточно прочный фундамент для изучения отдельных задач, таких, как задача о полете на Луну и многие другие. Ясно, что это только начало. [21]
Условия (3.3), (3.5) и (3.6) являются необходимыми условиями экстремума, а условия (3.4) и (3.7) - необходимыми условиями минимума на участке краевого экстремума. [22]
Вместе с тем желательно убедиться в том, что характеристика hb, построенная на основе необходимых условий экстремума, удовлетворяет хотя бы каким-то необходимым условиям минимума. С этой целью в 3.3 и 3.4 будут выведены некоторые необходимые условия минимума. [23]
Очевидно, с ростом т производные 8п т / 8т0, а 8к / / 8т0, поэтому первые два слагаемых положительны, третье - отрицательно, что является необходимым условием минимума. [24]
Необходимое условие оптимальности для задачи управления представляет собой конкретную реализацию общего принципа Лагранжа для экстремальных задач с ограничениями. Необходимое условие минимума в этой задаче состоит в следующем. [25]
Для определения условий минимума функции 4t () H & U следует воспользоваться леммой 2, в которой установлено, что функция qu ( X) является дифференцируемой по направлениям. Это свойство позволяет сформулировать необходимое условие минимума в следующем виде. [26]
Часть III Уравнение Беллмана (4.24) задает необходимое условие минимума. [27]
Определим оптимальные, обеспечивающие минимум объема движения ( 2) приращения Ацх, Ди2, Аф обобщенных координат при заданных величинах приращений Да, Aa: 2 координат захвата. В работе [1] показано, что необходимым условием минимума функции вида ( 2) является равенство нулю нескольких ( в рассматриваемом случае одного) приращений обобщенных координат. [28]
В статье [10] в связи с тем, что необходимое условие минимума Лежандра для изучаемых вырожденных функционалов Лагранжа не информативно, выведены два иных необходимых условия минимума. Первое из них получено при допущении возрастания энтропии. [29]
Как и в случае конечномерных динамических систем, в области задач об оптимальном управлении системами с распределенными параметрами сохраняют полную работоспособность усовершенствованные методы классического вариационного исчисления. При этом и здесь основное внимание было уделено составлению необходимых условий минимума для экстремальных задач со связями, трактуемыми как проблема Майера - Больца. Главным образом это было сделано для задач, связанных с уравнениями эллиптического типа. Было показано, что в таких типичных задачах, возникающих из проблем оптимального управления, необходимые условия стационарности ( уравнение Эйлера и естественные граничные условия, а также условия Вейерштрасса - Эрдманна) составляются при помощи обычных приемов. Критерии опираются снова на множители Лагранжа AJ, которые здесь зависят уже обычно от пространственных координат, а соответствующие дифференциальные уравнения снова конструируются исходя из подходящих форм функции Гамильтона. Условия стационарности дополняются необходимым условием Вейерштрасса сильного относительного минимума. Разумеется, это условие, которое записывается через условие экстремальности функции Гамильтона на оптимальных решениях, имеет смысл, аналогичный соответствующему условию принципа максимума. Важно, однако, заметить, что при работе с модификациями классических методов вариационного исчисления в случае уравнений с частными производными проявляются некоторые новые черты. В результате получаются условия оптимальности, более сильные, нежели известные в настоящее время обобщения принципа максимума на системы, описываемые уравнениями в частных производных. Упомянутые черты проявляются, в частности, в связи с тем обстоятельством, что приращение минимизируемого функционала при изменении объемного управления ( за счет варьирования от оптимального управления) в пределах области достаточно малой меры зависит не только от вариации управления и меры области, но также существенно определяется и предельной формой области варьирования. Таким образом, получается, что при изменении формы области, определяющей вариацию, могут, получаться более или менее широкие необходимые условия экстремальности. Как отмечено выше, эффект анизотропии варьирования пока был получен только классическими методами. Причины этого, по-видимому, различны: некоторые работы, посвященные принципу максимума, относятся к таким задачам, где этот эффект вообще не проявляется, в других случаях эффект анизотропии исключался вследствие ограничения при исследованиях лишь вариациями специального вида. Полезно также заметить, что описываемый эффект анизотропии расширяет возможность управления и оптимизации в обширном классе случаев независимо от типа исходных уравнений. Эффективность классических методов вариационного исчисления была проверена на конкретных типах задач. В частности, таким путем была исследована задача об оптимальном распределении проводимости электропроводной жидкости ( газа) в канале магнитодинамиче-ского генератора электрической энергии. Эта задача как раз доставляет пример вариационной проблемы, где эффект анизотропии варьирования играет существенную роль. Развитию классических методов исследования посвящены работы К. [30]