Cтраница 2
Этой проблеме посвящено много точных аналитических работ, причем исследовалось главным образом уравнение (3.4) с линейными граничными условиями. В статьях Лойтерта [17] указывается, что сходимость возможна в некоторых случаях в которых условие устойчивости не выполняется. Последняя статья содержит довольно полное обсуждение этого вопроса с интересными численными примерами. В большинстве перечисленных выше работ подчеркивается, что сходимость и устойчивость зависят от формы начального и граничных условий. В них отмечаются трудности, с которыми приходится сталкиваться при исследовании линейных задач. В случае нелинейных задач эти вопросы пока еще практически не затрагивались. [16]
В книге представлены результаты исследований автора по управлению упругими колебаниями систем, описываемых одномерным волновым уравнением с линейными граничными условиями различных родов. Подробно рассматриваются практические способы построения граничных управлений на основе решений, получаемых методом Даламбера и на основе метода Фурье. Определяются обобщенные решения класса L % различных типов краевых задач. Для них с помощью априорных оценок доказаны теоремы существования и получен явный вид этих решений. [17]
Аналогичный характер и конфигурация полей поляризации позволяют допустить в ряде случаев, что все три поля поляризации при линейных граничных условиях подобны друг другу. Отметим, что речь идет не о точном, а лишь о приближенном подобии этих полей. Допущение подобия полей поляризации в ряде случаев может упростить расчеты и послужить основой для приближенного решения задачи, приводящего к получению ответа в виде аналитической формулы. [18]
Как и в случае обыкновенных дифференциальных уравнений, выяснилось, что для линейных уравнений и минимизируемых функционалов при линейных граничных условиях указанные условия оказываются, как правило, достаточными условиями оптимальности ( с теми оговорками, о которых шла речь выше, - см. стр. Аналогичные результаты получены и для тех случаев, когда процесс описывается совокупностью уравнений в обыкновенных и частных производных с различными граничными и начальными условиями. [19]
Теорема 6.2. Обобщенное решение уравнения ( 1) с регулярными функциями 9 и ф, 62 0, при линейном граничном условии: z ax c, является регулярным. [20]
Если / ( h, х, у, t) есть линейная функция 1 h, то при линейных граничных условиях решения уравнения ( 10) находят обычными методами теории теплопроводности, часто применяют интегральные преобразования, в особенности преобразование Лапласа; при сложных граничных условиях или сложной форме границ пользуются приближенными методами. [21]
Действительно, при выполнении этого условия распределение носителей и в п - и - областях определяется линейным уравнением (19.11) и линейными граничными условиями (34.1) и (34.2) и, следовательно, световой и темновой токи складываются независимо. [22]
Так, описанные выше примеры показывают, что в случае нелинейной поляризации хорошая сходимость достигается при использовании в качестве начального приближения линейных граничных условий. [23]
Метод Грина позволяет свести расчет потенциала в какой-либо точке М 1 коррозионной среды ( в том числе, и на поверхности металла) при линейных граничных условиях, указанных в табл. 1.9, [ в обобщенном безразмерном виде - условия (1.25) ] к определению функций Грина, выражающих потенциал единичного точечного / 1) или ( в плоском случае) линейного ( / / 1) источника, помещенного в точку М i, при однородных ( с нулевой правой частью) граничных условиях того же вида. [24]
Несмотря на то, что в дальнейшем будем проводить решение для нелинейного граничного условия конкретного вида, это решение покажет общую методику, которая состоит в том, что сначала следует удовлетворить линейным граничным условиям. Затем их следует поставить в условия сопряжения. Величина Л2 будет являться лишней неизвестной, ее следует принять за некоторый параметр. Далее следует решить систему относительно Вг, Dv B2 и D2, считая Л2 как бы известным параметром. [25]
Пусть т - формально самосопряженный формальный дифференциальный оператор в интервале ( а, Ь) и Hit Hz - самосопряженные операторы в гильбертовом пространстве L2 ( а, Ь), порожденные оператором т и двумя различными множествами линейных граничных условий. [26]
В силу со cur распределение давления и скорости несущей жидкости может быть описано равновесной схемой пузырьковой среды, характеризуемой начальными плотностью р0 и равновесной скоростью звука С0 и приводящей при малых возмущениях плотности и давления к линейному волновому уравнению ( § 6) с линейным граничным условием ( А. [27]
Теперь ненулевые компоненты метрического тензона на мировой поверхности струны а ( г, а) должны на границах а О, п принимать постоянные ( не зависящие от т) ненулевые значения. Это приводит к несингулярным линейным граничным условиям для уравнения Лиувилля, описывающего основные дифференциальные формы на мировой поверхности струны. [28]
Учет нелинейности в граничных условиях упругих систем, совершающих колебания, не является поиском причин, играющих несущественную роль, а наоборот, очень часто нелинейные граничные условия являются фактором, определяющим движение всей упругой системы. Так, в отличие от случая линейных граничных условий, где амплитуды свободных колебаний являются произвольными постоянными, при нелинейных граничных условиях амплитуды свободных колебаний являются функциями частоты свободных колебаний. [29]
В предыдущем параграфе мы подробно изучили методы решения задач оптимального управления с квадратичным функционалом и линейными граничными условиями. [30]