Условия - единственность
Cтраница 3
Если решение системы уравнений (1.22) существует и единственно, то через каждую точку пространства проходит единственная линия тока, Однако, в некоторых точках поля скоростей условия существования и единственности могут нарушаться. В частности, условия единственности решения могут нарушаться в точках, в которых компоненты вектора скорости обращаются в нуль или бесконечность. [31]
Интегральная кривая может входить в равновесный режим за конечное время только в том случае, когда условия единственности решения системы (15.7) нарушаются. Отметим также, что возможность вхождения интегральной кривой системы (15.7) в начало координат при нарушении условий единственности существует вследствие того, что условия единственности решения системы дифференциальных уравнений являются достаточными. [32]
Если решение системы уравнений (1.22) существует и единственно, то через каждую точку пространства проходит единственная линия тока. Однако в некоторых точках поля скоростей условия существования и единственности могут нарушаться. В частности, условия единственности решения могут нарушаться в точках, в которых компоненты вектора скорости обращаются в нуль или в бесконечность. [33]
Приведенные ранее зависимости представляют собой математическую модель внутреннего механизма изучаемых процессов. Они не описывают условий взаимодействия тела с окружающей средой, его начального состояния. Вместе они образуют условия единственности решения рассматриваемой задачи, объединяясь в понятие краевых условий. При этом имеются в виду края той пространственно-временной области, в пределах которой происходит исследуемый процесс. [34]
Задание начального состояния движения ма териальной точки определяет h и однозначно определяет фазовук траекторию точки. Семейство фазовых траекторий является одно-параметрическим семейством. Фазовые траектории, соответствующие различным начальным условиям ( различным h), между собой не пересекаются, что следует из условия единственности решения уравнений движения. Движение изображающей точки по траектории происходит по часовой стрелке, так как в точках, где и0 координата s должна возрастать при движении изображающей точки. Состоянию покоя могут соответствовать только точки, находящиеся на оси s, причем фазовые траектории пересекаются с осью s под прямым углом. Точки, в которых обращаются в нуль v и производная dUjds, называются особыми точками фазовой плоскости. В особых точках скорость изображающей точки равна нулю. [35]
 |
Изменения Яэ по толщине оболочки во времени - решение инверсной задачи. Величины Тд определены в узлах ( hM бм. Лкбк ( схема узлы внутри. [36] |
Задание граничных условий 1 рода - толчок 100 % на одной из поверхностей - является предельным случаем, так как эквивалентен заданию q или а, стремящемуся к бесконечности. Температурные поля, полученные при граничных условиях 1 рода, дают картину максимально возможных ошибок, связанных с изменением интересующих нас величин. Эквивалентный эффективный коэффициент теплопроводности Кэ должен дать возможность получить при расчете монолитной оболочки такое же температурное поле, как в многослойной оболочке. Из условия единственности решения прямых задач теплопроводности следует, что нельзя найти такие значения Я я, которые позволили бы получить одинаковые поля. Речь идет о получении значений А 9, которые дадут близкие по значениям температурные поля на некоторых режимах работы оболочек с учетом числа слоев, соотношений термических сопротивлений слоев контактов и металла. В работах [7, 8] рассматриваются эффективные теплофизические характеристики, позволяющие на нестационарных режимах получить в монолитной оболочке температурное поле для многослойной оболочки. В [8] показано, что в каждой конкретной задаче можно получить эквивалентные постоянные Кч, Суз, которые с определенными по величине ( часто весьма значительными) ошибками позволяют получить эквивалентное температурное поле. [37]
Возможность существования особых решений связана с нарушением условий теоремы Коши. Как мы знаем, выполнение этих условий гарантирует существование и един: твен-ность решения - не может быть двух различных решений, удовлетворяющих одному и тому же начальному условию. В § 7 были рассмотрены случаи, когда эти условия нарушались только в отдельных особых точках. Между тем условия единственности могут нарушаться во всех точках некоторой линии, которая сама может оказаться решением уравнения. Это решение и называют особым. [38]
Хотя, согласно этой теореме, требуются всего две граничные точки в плоскости 2, в практических приложениях желательно отображать в единичный круг кривую, содержащую бесконечное число граничных точек. Проблему конформного отображения Ри-ман разработал в своей диссертации ( 1851 г.), где были представлены все основные понятия, на которых базируются последующие работы в этой области. Однако его доказательство теоремы об отображении было не полным, поскольку оно зиждилось на спорных допущениях, обоснованность которых была доказана лишь в 1900 г. Гильбертом в теореме, известной под названием принцип Дирихле. Доказательства теоремы здесь не дается, однако полезно рассмотреть условия единственности отображения. Два различных единственных отображения односвяз-ной области на внутреннюю область единичного круга дают единственное отображение единичного круга в самого себя; как будет показано далее, это преобразование должно быть линейным. Итак, комплексное число / ( 0) дает два действительных числа: само данное и arg / ( 0), что достаточно для обеспечения единственности преобразования. [39]
Применительно к таким сложным явлениям, как конвекция тепла, исключительно важно уметь правильно ставить эксперимент. Это означает, что экспериментальное исследование должно быть проведено наиболее экономно, тогда как выводы из него должны отличаться всей доступной общностью. Возможности к такой постановке эксперимента скрыты в критериальных формулах, используемых в духе теории подобия. Критериальные формулы получаются очень легко, если сущность явления ясна предварительно настолько, что можно построить соответствующую систему дифференциальных уравнений и установить условия единственности решения задачи. Когда объем предварительных знаний недостаточен для составления надлежащих уравнений и приходится только ограничиться простым перечислением существенных для данной задачи факторов, то взамен теории подобия на помощь приходит учение о размерности. Однако и в этом случае необходимо представлять себе общий тип физических соотношений, которые связывают между собою вводимые в круг рассмотрения факторы, без чего выбор для них системы единиц измерения может оказаться неприспособленным к рассматриваемой задаче. В результате могут быть получены неэффективные или даже физически неверные выводы. Поэтому познавательная ценность рекомендаций, вытекающих из применения учения о размерности, более ограничена. Не вдаваясь в дальнейшие подробности, мы будем впредь исходить из предположения, что физико-математическая сторона задачи сформулирована до конца и критериальные формулы обоснованы так, как это было сделано выше. [40]
Если 2v 0, К и х уменьшаются с ростом давления, если Svi0 - возрастают. Наличие в исходной смеси продуктов реакции уменьшает х, а ее разбавление другими реагентами - увеличивает. Влияние Si на х имеет большое значение для технической реализации химических процессов. Конкретные примеры расчетов х для различных величин б - приведены в последующих разделах. Это вытекает из условия единственности состояния. [41]
Выше уже отмечалось, что расчет не всегда обеспечивает выбор параметров, приводящих к единственному стационарному состоянию. Условия могут быть настолько экстремальны, что их можно полностью исключить из рассмотрения, как это было сделано для изотермического проточного реактора с перемешиванием, применяемого в процессе окисления изопропилового спирта. Кроме того, расчет, основанный на единственности стационарного состояния, часто приводит к неэкономичным результатам. Когда предварительные вычисления показывают, что можно получить интересующие нас результаты, цель расчета меняется. В то время как условия единственности могут использоваться при расчете предельных случаев, для создания реакторов, имеющих несколько стационарных состояний, необходимы другие основания. [42]
Рассмотрим крайний случай: анализируемая совокупность состоит из бесконечного количества объектов. Ясно, что в любом случае мы имеем лишь выборочные сведения о такой совокупности. Эту гипотетическую совокупность, с которой исследователь дела почти никогда не имеет, называют генеральной совокупностью. Если бы мы все же сумели обследовать всю генеральную совокупность, то мы обнаружили бы, что такие характеристики генеральной совокупности, как математическое ожидание и дисперсия, по смыслу соответствующие средней арифметической и а2 выборки, по величине единственны. Единственными окажутся и такие характеристики, как корреляционное отношение, частные и множественные коэффициенты корреляции, коэффициенты регрессии, остаточная дисперсия, коэффициенты влияния. Но как только мы переходим к выборке, условия единственности могут не выполняться. [43]
Страницы: 1 2 3