Cтраница 2
При постановке граничных условий различают условия, заданные с самого начала ( если, например, на части поверхности заданы щ или pi), и так называемые естественные граничные условия. [16]
Определение квантовых уровней не разбивается больше на два, по существу различных, этапа, а именно; 1) на нахождение всех динамически возможных траекторий и 2) на отбрасывание большинства полученных на первом этапе решений с выделением некоторых немногих, удовлетворяющих специальным требованиям; напротив, квантовые уровни определяются теперь сразу как собственные значения уравнения ( 18), при которых выполняются введенные выше естественные граничные условия. [17]
При интегрировании уравнений движения необходимо учитывать граничные и начальные условия. Из вариационного уравнения (2.75) получаем ЗМ 3 естественных граничных условия для каждой из кромочных поверхностей оболочки. [18]
В настоящей статье излагается теория расчета пластин, составленных из жестких и мягких слоев в произвольной последовательности. Для вывода уравнений используются вариационные принципы, что позволяет также получить естественные граничные условия и установить, таким образом, систему внутренних усилий, не противоречащих введенным гипотезам. Уравнения равновесия выводятся из принципа Лагранжа, уравнения колебаний - из принципа Гамильтона и уравнения нейтрального равновесия для задачи об устойчивости безмоментного состояния - из принципа Треффца. Обсуждаются частные и предельные случаи. [19]
Вариационные принципы механики, с одной стороны, имеют большое теоретическое значение, поскольку они выявляют энергетическую основу теории и устанавливают связь между различными подходами в описании проблемы теории. С другой стороны, важным является практическое значение принципов, поскольку они позволяют, во-первых, имея общие выражения для функционалов, находить дифференциальные уравнения и естественные граничные условия в любых конкретных случаях, что непосредственно в ряде случаев сделать затруднительно, а во-вторых, находить решения, минуя составление дифференциальных уравнений, при помощи так называемых прямых методов. [20]
Вариационные принципы открывают естественный путь для сведения трехмерных задач механики сплошных сред к двумерным задачам теории пластин и оболочек. Их использование позволяет установить систему обобщенных внутренних усилий, соответствующую независимым обобщенным кинематическим параметрам конечносдвиговой слоистой оболочечной системы и получить корректные уравнения ее равновесия. Вместе с ними устанавливаются кинематические и естественные граничные условия задачи. Дифференциальные уравнения и краевые условия получаются из вариационного принципа путем применения формальной математической процедуры, что важно, поскольку корректное использование формального аналитического метода позволяет избежать ошибочных формулировок, которые могли бы возникнуть при составлении уравнений равновесия и краевых условий методами элементарной статики. Укажем также и на известный [301 ] классический пример такого рода - условие Пуассона на свободном крас. [21]
Основные преимущества МКЭ проистекают из его сеточного ( разбивка на конечные элементы) и вариационного ( использование вариационных принципов) характера. Вариационный подход расширяет класс допустимых функций и, в частности, позволяет конструировать решение при помощи не очень гладких, но, что важно, локализованных функций. Вариационный подход позволяет также исключить из специального рассмотрения естественные граничные условия. Наконец, сеточный характер МКЗ облегчает известные трудности, связанные с выбором базисных функций в вариационных методах. [22]
Замечательное свойство вариационных задач заключается в том, что в них всегда автоматически возникает нужное число граничных условий. Эти граничные условия, не обусловливаемые имеющимися внешними обстоятельствами, следуют из сути вариационной задачи. Наложенные извне ( внешние) и естественные граничные условия, вместе взятые, обеспечивают единственность решения. [23]
Как известно, специфика контактной задачи заключается в характерной для нее нелинейности, связанной с априорной неизвестностью площадок контакта и усилий, действующих по ним. В рамках обычных численных подходов это вызывает огромные трудности. Необходимо принимать во внимание также тот факт, что у границ зон взаимодействия градиенты контактных напряжений, как правило, больше. Поэтому применение МГЭ, который основывается на использовании ИУ, связывающего естественные граничные условия, для решения контактных задач с трением является обоснованным. [24]
С первого взгляда может показаться, что кинетика, вытекающая из приведенной выше схемы, попросту обратна элементарной кинетике полимеризации. Вопрос усложняется из-за образования промежуточных частиц, которые могут быть реактивированы. Кроме того, начальный размер деструктирующихся молекул налагает, как будет видно ниже, естественные граничные условия. [25]
Как и в случае конечномерных динамических систем, в области задач об оптимальном управлении системами с распределенными параметрами сохраняют полную работоспособность усовершенствованные методы классического вариационного исчисления. При этом и здесь основное внимание было уделено составлению необходимых условий минимума для экстремальных задач со связями, трактуемыми как проблема Майера - Больца. Главным образом это было сделано для задач, связанных с уравнениями эллиптического типа. Было показано, что в таких типичных задачах, возникающих из проблем оптимального управления, необходимые условия стационарности ( уравнение Эйлера и естественные граничные условия, а также условия Вейерштрасса - Эрдманна) составляются при помощи обычных приемов. Критерии опираются снова на множители Лагранжа AJ, которые здесь зависят уже обычно от пространственных координат, а соответствующие дифференциальные уравнения снова конструируются исходя из подходящих форм функции Гамильтона. Условия стационарности дополняются необходимым условием Вейерштрасса сильного относительного минимума. Разумеется, это условие, которое записывается через условие экстремальности функции Гамильтона на оптимальных решениях, имеет смысл, аналогичный соответствующему условию принципа максимума. Важно, однако, заметить, что при работе с модификациями классических методов вариационного исчисления в случае уравнений с частными производными проявляются некоторые новые черты. В результате получаются условия оптимальности, более сильные, нежели известные в настоящее время обобщения принципа максимума на системы, описываемые уравнениями в частных производных. Упомянутые черты проявляются, в частности, в связи с тем обстоятельством, что приращение минимизируемого функционала при изменении объемного управления ( за счет варьирования от оптимального управления) в пределах области достаточно малой меры зависит не только от вариации управления и меры области, но также существенно определяется и предельной формой области варьирования. Таким образом, получается, что при изменении формы области, определяющей вариацию, могут, получаться более или менее широкие необходимые условия экстремальности. Как отмечено выше, эффект анизотропии варьирования пока был получен только классическими методами. Причины этого, по-видимому, различны: некоторые работы, посвященные принципу максимума, относятся к таким задачам, где этот эффект вообще не проявляется, в других случаях эффект анизотропии исключался вследствие ограничения при исследованиях лишь вариациями специального вида. Полезно также заметить, что описываемый эффект анизотропии расширяет возможность управления и оптимизации в обширном классе случаев независимо от типа исходных уравнений. Эффективность классических методов вариационного исчисления была проверена на конкретных типах задач. В частности, таким путем была исследована задача об оптимальном распределении проводимости электропроводной жидкости ( газа) в канале магнитодинамиче-ского генератора электрической энергии. Эта задача как раз доставляет пример вариационной проблемы, где эффект анизотропии варьирования играет существенную роль. Развитию классических методов исследования посвящены работы К. [26]