Cтраница 3
Тем самым между L и Z / установлен линейный изоморфизм ( см. § 10 гл. Таким образом, установленный между L и L линейный изоморфизм является метрическим изоморфизмом. [31]
Очевидно, что это есть взаимно однозначное соответствие между R % и Rn. Легко убедиться также в том, что оно представляет собой линейный изоморфизм. [32]
Доказательство совпадения ( линейных) размерно - - стей кососвязанпых 8i и Й2 в лемме 1.31 существенно опиралось на конечномерность последних. Что же касается бесконечномерных 8, 82, то из 8i 82 не всегда следует их линейный изоморфизм. [33]
Чтобы убедиться в справедливости этих замечаний, достаточно установить метрический изоморфизм между евклидовой плоскостью с ее первоначальной метрикой и этой же плоскостью с ее новой метрикой. Согласно § 5 ( см. доказательство теоремы 1) мы получим метрический изоморфизм, если установим линейный изоморфизм, при котором базисы, изображенные на рис. 40 и 42, соответствуют друг другу. [34]
Очевидно, что ( 5 ( L) и / инвариантны относительно действия группы G, поэтому линейный изоморфизм л: ( 5 ( L) - il ( L) в действительности является изоморфизмом G-модулей. Обозначим через ( 5 ( L) G подпространство ( на самом деле подалгебру) элементов, инвариантных относительно G. Из леммы 23.2 следует, что л отображает ( 5 ( L) G на 3 il ( L) G. Предупреждение: л является не гомоморфизмом алгебр, а лишь линейным отображением. [35]
По теореме о гладкой зависимости решений системы ( 2) от начальных данных отображение ехрр является в области своего задания гладким. Чтобы убедиться, что в некоторой окрестности нуля оно является диффеоморфизмом, достаточно проверить, что в нуле дифференциал отображения ехрр является линейным изоморфизмом, и сослаться на теорему об обратном отображении. [36]
Тем самым между L и Z / установлен линейный изоморфизм ( см. § 10 гл. Таким образом, установленный между L и L линейный изоморфизм является метрическим изоморфизмом. [37]
Рассмотрим теперь пространство Diffr ( / W) диффеоморфизмов многообразия М класса гладкости Сг. Согласно теореме Хартмана и Гробмана, достаточно классифицировать гиперболические линейные изоморфизмы. [38]
Иногда бывает удобно пользоваться инвариантным определением, не использующим локальные координаты, выбор которых неоднозначен. При отображении / дифференциал df отображает ТуМп на ТХМП, причем это отображение - линейный изоморфизм, так как / - диффеоморфизм. [39]