Cтраница 2
Минимальное расширение А произвольной булевой алгебры А является полной булевой алгеброй. Канонический изоморфизм / г сохраняет все бесконечные объединения а пересечения. [16]
Тогда существует канонический изоморфизм. [17]
Аналогично равенство Xg ( deRg) Хе для каждого g E G определяет правоинвариантное векторное поле. Между пространствами левоинвариантных и правоинвариантных векторных полей можно зафиксировать канонический изоморфизм, сопоставляя каждому левоинвариантному полю X то правоинвариантное поле У, для которого Ye - Хе. Поэтому выбор в качестве основного объекта именно пространства левоинвариантных ( а не правоинвариантных) векторных полей - вопрос договоренности. [18]
Предупредим читателя, однако, что мы вынуждены будем ограничиться лишь введением в теорию канонических изоморфизмов. Главный вопрос, систематическое исследование которого мы опустим, состоит в их совместности. Предположим, например, что у нас есть два естественных изоморфизма между некоторыми тензорными произведениями, по-разному скомпонованных из нескольких элементарных естественных изоморфизмов. Обязательно ли эти изоморфизмы совпадут. Можно проводить непосредственную проверку в каждом конкретном частном случае или попытаться построить общую теорию, которая оказывается довольно громоздкой. [19]
Опуская эту единицу, получаем, что Ui биективно множеству У. Позже мы покажем, что инвариантно можно ввести на Ui лишь целый класс аффинных структур, связанных, впрочем, каноническими изоморфизмами, так что геометрия аффинных конфигураций в любой из них будет одна и та же. [20]
Однако часто ( например, для всех конечных групп и для аддитивных групп локально компактных полей) уже первая двойственная группа А изоморфна А. Но в таком случае не существует канонического изоморфизма. [21]
Эквивалентность 6а на 9t / o тогда и только тогда есть - отношение, когда - отношением на 91 является конгруэнтность а. Если ф есть R-гомоморфизм 9t на нумерованную алгебру 35, то канонический изоморфизм M / G на 95 есть R-мономорфизм. [22]
По определению Nt N ( Lt, / Си I, il, 2, где LteKi, а г - разбиение, триангулирующее соответствующую окрестность полиэдра X в Y. Для завершения доказательства остается заметить, что каждый из этих гомеоморфизмов, являясь композицией канонических изоморфизмов ( утверждение 3.6), оставляет на месте полиэдр X и дополнение к некоторой его компактной окрестности в У и поэтому продолжается тождественным отображением на весь полиэдр У. [23]
Гомоморфизм р: Л - - В можно рассматривать как рациональную подстановку а, для которой множества о ( а) одноэлементны. Обратное к гомоморфизму отображение ф - i. В - ( А), определяемое формулой ф - 1 ( о) е Л: ф ( ы) и, является рациональной трансдукцией, так как подмножество ( и, и) еЛ ХВ: v - q ( u) рационально в Л Х, а канонический изоморфизм Л Х - В ХЛ сохраняет рациональность. [24]
Для римановых многообразий, наделяя касательное пространство плоской метрикой ( см. определение 9.17), можно показать, что экспоненциальное отображение не уменьшает длин касательных векторов ( точную формулировку см. Бишоп и Криттенден ( 1967, с. Сопоставляя якобиевы поля на данном римановом многообразии с якобиевыми полями в R и используя теорему сравнения Рауха, можно получить простое доказательство этого факта. Для доказательства аналогичных результатов для пространств с неотрицательной времениподобной секционной кривизной мы воспользуемся времениподобной теоремой сравнения Рауха ( см. Флаэрти ( 1975а, с. Интуитивно ясно, что приведенное ниже следствие 10.12 выражает тот факт, что если времениподобные секционные кривизны ( М, g) положительны, то направленные в будущее времениподобные геодезические, исходящие из данной точки, разбегаются в М быстрее, чем соответствующие геодезические в пространстве-времени Минковского. Напомним, что канонический изоморфизм Т0 определен в разд. [25]
Лорана показывает, что это изоморфизм. D) доказывается теми же рас суждениями. Сложность в том, что, хотя группа Н1 ( Р ( У ( - 2)) изоморфна С, этот изоморфизм не канонический, а зависит, например, от выбора координат в Рь Верно лишь, что имеется канонический изоморфизм Hl ( P Ql) C ( задаваемый интегрированием; это двойственность Серра [43]) и неканонический изоморфизм О ( - 2) Q. Изоморфизм двойственности Серра задается следующим образом. [26]