Cтраница 1
Устойчивость стационарного решения (2.97) указывает на устойчивость стационарного решения (2.87) к крупномасштабным возмущениям. Для исследования устойчивости к мелкомасштабным возмущениям необходимо рассматривать исходное уравнение (2.87) с распределенными параметрами. [1]
Устойчивость стационарного решения системы (5.1.1) характеризуется собственными числами матрицы Якоби, определяемой правыми частями соответствующих уравнений. Если мы изменяем один из параметров системы, то вдоль ветви решения на соответствующей диаграмме решений характер устойчивости может изменяться лишь в точках, где собственное число переходит из левой половины комплексной плоскости в правую. Переход вещественного собственного числа через нуль обсуждался нами в § 5.2. Если пара комплексно-сопряженных собственных чисел пересекает мнимую ось, то матрица Якоби все время остается невырожденной, и на диаграмме стационарных решений мы имеем регулярную точку данной ветви. Точки диаграммы стационарных решений, в которых пара комплексно-сопряженных собственных чисел пересекает мнимую ось, называются точками комплексной бифуркации1) или точками бифуркации Хопфа, по имени математика, опубликовавшего одну из основополагающих работ о характере решений в окрестности таких точек. Следующий существенный факт мотивирует разработку алгоритмов для нахождения точек комплексной бифуркации: в указанных точках ( при выполнении определенных условий) от ветви стационарных решений отходит ветвь периодических решений. [2]
Вопрос об устойчивости стационарного решения для нестационарной задачи в общем случае не решен. Можно показать, что для ядра Ф, равного положительной постоянной, устойчивость имеет место. Тождественный нуль, естественно, не удовлетворяет стационарной задаче с ненулевым источником. [3]
Мозера доказал устойчивость стационарных решений почти для всех точек области, где выполнены лишь необходимые условия устойчивости, исследовал, используя методы осреднения, нелинейные колебания оси симметрии спутника в окрестности резонанса, рассмотрел возможность возникновения параметрического резонанса на эллиптических орбитах. [4]
Общий характер устойчивости стационарных решений для параметрических генераторов всех типов следует из анализа вещественной и мнимой частей характеристического показателя А. Если вещественная часть для ненулевых решений отрицательна, то соответствующий стационарный режим является устойчивым по Ляпунову, причем наличие или отсутствие мнимой части характеристического показателя выявляет характер этой устойчивости. [5]
Вообще говоря, устойчивость стационарного решения (2.87) необходимо рассматривать совместно с устойчивостью параметров внешней электрической цепи в каждом конкретном случае. Такой анализ требует достаточно подробных сведений о каждой конкретной установке, что, как правило, отсутствует в публикациях. [6]
Поскольку собственное значение П определяет устойчивость стационарного решения, обсудим его свойства. [7]
Покажем, что и задача устойчивости стационарных решений (1.3.2) сводится к исследованию устойчивости равновесия позиционной подсистемы в предположении, что квазициклические скорости являются задаваемыми ( неварьируемыми) параметрами. [8]
Таким образом, для исследования устойчивости одномерного стационарного решения и х) по отношению как к одномерным, так и к многомерным возмущениям необходимо вычислить критический параметр рг, при котором самое правое собственное значение оператора L (1.4), (1.5) переходит через мнимую ось. [9]
Устойчивость стационарного решения (2.97) указывает на устойчивость стационарного решения (2.87) к крупномасштабным возмущениям. Для исследования устойчивости к мелкомасштабным возмущениям необходимо рассматривать исходное уравнение (2.87) с распределенными параметрами. [10]
Полученные эволюционные уравнения позволяют легко исследовать устойчивость стационарных решений по отношению к возмущениям той же геометрической структуры, что и сами основные решения. [11]
Теорема 6 полностью решает вопрос об устойчивости стационарных решений, включая критические случаи. Следующая теорема показывает, насколько большими могут быть взяты отклонения от устойчивого стационарного решения, чтобы построенные по таким данным решения стабилизировались к нему же. [12]
Следующее утверждение дает возможность исследовать вопрос об устойчивости стационарных решений. Будем для простоты предполагать, что нуль является стационарным решением каждой из рассматриваемых задач. [13]
Теорема 1 дает обоснование первого метода Ляпунова исследования устойчивости стационарных решений краевых задач для параболических по Петровскому систем. Как видно, никаких ограничений на рост функции f не накладывается, требуется малость лишь тех производных от начальных данных, которые входят в систему нелинейно. Более того, установлено, что в известных ранее для линейных систем априорных оценках можно гельдеровские нормы С а заменить нормами С с целым I. [14]
В этом параграфе, который носит вспомогательный характер, мы опишем методику исследования устойчивости стационарных решений по линейному приближению. Как известно, устойчивость решения зависит от собственных чисел матрицы линеаризованной системы. Мы коротко рассмотрим методы нахождения коэффициентов характеристического многочлена матрицы и приведем критерий устойчивости Рауса - Гурвица. Наконец, мы напомним о методе нахождения собственных чисел матрицы непосредственно как корней хар актеристического многочлена, что является более предпочтительным при небольших размерах системы. [15]