Устойчивость - стационарное решение
Cтраница 3
Сдвиг фазы зависит от мощности обеих волн. Уравнение (7.3.1) показывает, что обе волны распространяются без изменения, за исключением сдвига фазы, линейно нарастающего с расстоянием. Прежде чем сделать такой вывод, следует рассмотреть устойчивость стационарного решения к малым возмущениям. Воспользуемся методом, аналогичным описанному в разд. Напомним, что там было показано, что одна непрерывная волна становится неустойчивой в области отрицательной дисперсии световода из-за модуляционной неустойчивости. [31]
Сдвш фазы зависит от мощности обеих волн. Уравнение (7.3.1) показывает, что обе волны распространяются без изменения, за исключением сдвига фазы, линейно нарастающего с расстоянием. Прежде чем сделать такой вывод, следует рассмотреть устойчивость стационарного решения к малым возмущениям. Воспользуемся методом, аналогичным описанному в разд. Напомним, что там было показано, что одна непрерывная волна становится неустойчивой в области отрицательной дисперсии световода из-за модуляционной неустойчивости. [32]
Хотя групповая скорость одинакова для волны накачки и стоксо-вой волны, их относительная скорость равна 2vg, так как они распространяются навстречу друг другу. Релаксационные колебания возникают как следствие этой эффективной расстройки групповых скоростей. Частоту и скорость затухания релаксационных колебаний можно получить, анализируя устойчивость стационарного решения уравнений (9.2.7) и (9.2.8) аналогично тому, как это делалось в разд. Такой линейный анализ устойчивости дает также условия, при которых непрерывный сигнал становится неустойчивым. Если же действительная часть И отрицательна, возмущение возрастает со временем и непрерывный сигнал становится неустойчивым. В этом случае ВРМБ ведет к модуляции интенсивностей накачки и стоксова излучения даже в случае непрерывной накачки. [34]
Хотя групповая скорость одинакова для волны накачки и стоксо-вой волны, их относительная скорость равна 2vg, так как они распространяются навстречу друг другу. Релаксационные колебания возникают как следствие этой эффективной расстройки групповых скоростей. Частоту и скорость затухания релаксационных колебаний можно получить, анализируя устойчивость стационарного решения уравнений (9.2.7) и (9.2.8) аналогично тому, как это делалось в разд. Такой линейный анализ устойчивости дает также условия, при которых непрерывный сигнал становится неустойчивым. Если же действительная часть h отрицательна, возмущение возрастает со временем и непрерывный сигнал становится неустойчивым. В этом случае ВРМБ ведет к модуляции интенсивностей накачки и стоксова излучения даже в случае непрерывной накачки. [36]
Принцип Малкуса был выдвинут на интуитивной основе. Согласно ему, должны реализовываться те течения, при которых конвективная теплопередача максимальна. В дальнейшем была сделана попытка [40] связать этот принцип с устойчивостью стационарных решений уравнений конвекции. [37]
Бифуркационная диаграмма для задачи 4 представлена на рис. 5.20 е в плоскости параметров 8 - а. В области, ограниченной кривыми вещественных бифуркаций, существует три решения, вне этой области - одно решение. Кривые комплексной бифуркации указывают нам на ответвление периодических решений и изменение характера устойчивости стационарных решений. В области единственности стационарных решений эти кривые выделяют область существования устойчивых предельных циклов. [38]
Система (5.3.18) представляет собой линейную систему с постоянными коэффициентами, для ее исследования можно воспользоваться результатами предыдущих пунктов. Если некоторые собственные числа матрицы А имеют положительные вещественные части, то стационарное решение х не будет устойчивым. Если, наконец, некоторые из собственных чисел имеют вещественные части, равные нулю, а остальные ReJw0, то линейное приближение не позволяет решить вопрос об устойчивости стационарного решения. [39]
Исследованию устойчивости этого стационарного решения будет посвящен раздел 3 данной главы, Оценка скорости распространения малых возмущений в псевдоожиженном слое будет дана в разделе 4 Как уже отмечалось выше, линейная теория устойчивости позволяет описывать лишь начальный этап эволюции малых возмущений в псевдоожиженном слое. Далее будут приведены некоторые результаты, полученные на основе нелинейных уравнений гидромеханики псевдоожиженного слоя. В разделе 6 будет рассмотрена устойчивость стационарного решения уравнений гидромеханики с учетом граничных условий на верхней и нижней поверхности слоя. Такой анализ показывает возможность появления циркуляционных течений в. В заключительном разделе будет рассмотрено решение уравнений гидромеханики псевдоожиженного слоя, описывающее циркуляционные течения. [40]
Хопфа ( их называют также линии нейтральности. Наиболее интересными представляются те точки комплексной бифуркации, в которых ( при изменении одного параметра) меняется устойчивость стационарного решения. Если мы изменяем параметры ( 3 и а таким образом, что пересекаем указанную кривую точек комплексной бифуркации, то при этом изменяется устойчивость одного из имеющихся стационарных решений задачи. Мы можем построить также кривые точек комплексной бифуркации, в которых устойчивость стационарного решения не меняется - эти кривые позволяют судить о рождении неустойчивых периодических решений. [41]
Работы же по изучению устойчивости стационарных режимов сложных схем находятся в настоящее время в самой начальной стадии. Связано это с большими трудностями, основными из которых являются следующие. Первая трудность заключается в том, что многие аппараты с. Если для обыкновенных дифференциальных уравнений имеется хорошо разработанная общая теория исследования устойчивости стационарных решений, то для дифференциальных уравнений в частных производных такой общей теории пока еще нет. Эта трудность характерна и для задач по изучению устойчивости отдельных аппаратов. [42]
Пока для систем не существует теории, столь же развитой, как для скалярных уравнений. Имеются отдельные результаты, касающиеся частных случаев системы ( 24), возникающих в различных моделях естествознания. Среди результатов, носящих общий характер, следует выделить исследования по бифуркациям волн. С помощью теории бифуркаций удается описать довольно большое число различных видов волн, рождающихся при потере устойчивости постоянных стационарных решений или плоских бегущих волн, а также, что очень важно, изучить устойчивость появившихся волн. [43]
 |
Образование уединенной волны и осциллирующего хвоста при эволюции начального возмущения скорости ( о и плотности заряда ( б. [44] |
Мы не ставим себе здесь задачей подробно останавливаться на вопросах применения методов теории нелинейных волн к задачам электроники сверхвысоких частот. Во-первых, при аналитическом исследовании волновых уравнений обычно находят решения в виде стационарных волн. В этом случае возрастает роль численного моделирования нестационарных уравнений, которое позволяет решить вопрос об устойчивости стационарных решений. Во-вторых, решения обычно ищутся для бесконечно протяженных в продольном направлении потоков, хотя для электроники СВЧ принципиальный интерес представляют решения краевых задач. [45]
Страницы: 1 2 3