Cтраница 3
Этим выражается неустранимость особенности. Если N 0, то пленка вообще не охватывает сферу. Это отвечает отсутствию особенности или ее устранимости - такую пленку можно стянуть в точку. Для особых точек в нематике знак N не имеет смысла: его изменение означает лишь изменение направлений п во всем пространстве на обратные, что не отражается на состоянии нематика. [31]
Этим выражается неустранимость особенности. Если Л / 0, то пленка вообще не охватывает сферу. Это отвечает отсутствию особенности или ее устранимости - такую пленку можно стянуть в точку. Для особых точек в нематике знак N не имеет смысла: его изменение означает лишь изменение направлений п во всем пространстве на обратные, что не отражается на состоянии нематика. [32]
Для этих специфически интуиционистских теорий и их модификаций часто нетривиальным является уже вопрос относительно их непротиворечивости, так как принципы таких теорий противоречат классической семантике. Наличие алгебраической модели интуиционистской теории гарантирует ( с традиционной классической точки зрения) ее непротиворечивость, определяет некоторую нестандартную семантику рассматриваемой теории и, что, может быть, наиболее существенно, позволяет судить о совместности или независимости различных интуиционистских принципов в рамках теории. Алгебраические модели находят интересные применения и в доказательстве устранимости сечения для интуиционистских логик высокого порядка, где непригоден обычный метод, связанный с индукцией по логической сложности основной формулы сечения. [33]
Как следует из 5.1, употребление е - терма еуф устранимо. Устранимость функционального символа в этом случае отмечена в [ 1, с. В этом частном случае, однако, как доказано в [1], можно установить большее, чем устранимость терма буф: а именно можно показать, что каждая формула, содержащая этот терм, эквивалентна формуле без терма еуф. [34]
Сущность этого метода состоит в том, что на поверхность наносится в виде порошка материал через пламя распылительной горелки. Проходя через пламя, порошкообразный материал нагревается до размягчения и частицы, ударяясь о поверхность, сцепляются с ней. Преимущества способа: порошкообразный материал находится в твердом состоянии в отличие от жидких лакокрасочных покрытий, требующих растворителей; не требуется длительной сушки; легкая устранимость на покрытии каких-либо местных дефектов или повреждений; способ дает возможность наносить покрытия из термопластов, которые не могут быть использованы другими методами; высокая адгезия. [35]
В третьем параграфе рассматривается обобщение топологических булевых алгебр - топологические булевы алгебры с пополнением. Логическая часть всякой ВК-структуры оказывается частным случаем такой алгебры. Для приложений особенно удобны алгебры с пополнением, заданные порядковой топологией. Именно такая алгебра используется в пятом параграфе для доказательства устранимости сечения. [36]
Как известно, обычные методы доказательства устранимости сечения, например, типа, приведенного нами в первой части, оказываются непригодными для логик высокого порядка. Причиной является непредикативный характер таких исчислений, в которых вместо параметров формул в определенных случаях разрешается подставлять термы, более сложные, чем сами исходные формулы. Из-за этого основная индукция по логической сложности главной формулы сечения разрушается и доказательство не проходит. Та-кеути [1] показал, что это обстоятельство не случайно: доказав устранимость сечения в простой теории типов, можно уже элементарно доказать непротиворечивость простой теории типов с аксиомой бесконечности. Простая теория типов с аксиомой бесконечности - очень обширная теория, естественно формализующая практически все разделы работающей классической математики. Таким образом, в силу известной теоремы Геделя, само доказательство устранимости сечения не может быть элементарным, - более того, оно не может быть даже проведено средствами такой сильной теории, как простая теория типов с аксиомой бесконечности. Доказательство устранимости сечения представляет поэтому замечательный пример весьма неэлементарного доказательства просто формулируемого синтаксического утверждения, представляющего несомненный интерес. С точки зрения оснований математики принципиальный интерес приобретает анализ формы этого доказательства. [37]
Как известно, обычные методы доказательства устранимости сечения ( см., например, [ 14, с. Причиной является непредикативный характер таких логик, в которых вместо параметров формул в определенных случаях разрешается подставлять термы, более сложные, чем сами исходные формулы. Из-за этого основная индукция по логической сложности главной формулы сечения разрушается, и доказательство не проходит. Такеути [15] показал, что это обстоятельство не случайно: доказав устранимость сечения в простой теории типов, можно уже элементарно доказать непротиворечивость простой теории типов с аксиомой бесконечности. Простая теория типов с аксиомой бесконечности - очень обширная теория, естественно формализующая практически всю работающую математику. Таким образом, в силу известной теоремы Геделя само доказательство устранимости сечения не может быть элементарным; более того, оно не может быть даже проведено средствами такой сильной теории, как простая теория типов с аксиомой бесконечности. С точки зрения оснований математики поэтому принципиальный интерес приобретает анализ формы доказательства устранимости сечения в простой теории типов. [38]
Скулему, теории с - символом удобны для установления их непротиворечивости. Гильберта, утверждающая, что применение е-символа всегда устранимо из вывода формулы, не содержащей е-символа. Предложенный вариант, тем не менее, покрывает обычные возможности введения функциональных символов в интуиционистскую логику ( Клини [ 1, с. Доказательство устранимости г-символа проводится методами интуиционистской теории моделей. Мы предполагаем, что статья [3] известна, и пользуемся ее терминологией и результатами. [39]
Устранимость их была доказана Гильбертом и Бернайсом [ 1934, стр. Эти доказательства устанавливают устранимость tw как формального оператора, присоединение которого к данному формализму делает возможным введение сразу всех описательных определений. Математики обычно при построении какой-нибудь теории вводят новые функциональные символы последовательно, по мере возникновения надобности в них. Мы установим устранимость функциональных символов, введенных именно таким образом. Достаточно рассмотреть однократное введение нового функционального символа. [40]
Как известно, обычные методы доказательства устранимости сечения ( см., например, [ 14, с. Причиной является непредикативный характер таких логик, в которых вместо параметров формул в определенных случаях разрешается подставлять термы, более сложные, чем сами исходные формулы. Из-за этого основная индукция по логической сложности главной формулы сечения разрушается, и доказательство не проходит. Такеути [15] показал, что это обстоятельство не случайно: доказав устранимость сечения в простой теории типов, можно уже элементарно доказать непротиворечивость простой теории типов с аксиомой бесконечности. Простая теория типов с аксиомой бесконечности - очень обширная теория, естественно формализующая практически всю работающую математику. Таким образом, в силу известной теоремы Геделя само доказательство устранимости сечения не может быть элементарным; более того, оно не может быть даже проведено средствами такой сильной теории, как простая теория типов с аксиомой бесконечности. С точки зрения оснований математики поэтому принципиальный интерес приобретает анализ формы доказательства устранимости сечения в простой теории типов. [41]
Как известно, обычные методы доказательства устранимости сечения, например, типа, приведенного нами в первой части, оказываются непригодными для логик высокого порядка. Причиной является непредикативный характер таких исчислений, в которых вместо параметров формул в определенных случаях разрешается подставлять термы, более сложные, чем сами исходные формулы. Из-за этого основная индукция по логической сложности главной формулы сечения разрушается и доказательство не проходит. Та-кеути [1] показал, что это обстоятельство не случайно: доказав устранимость сечения в простой теории типов, можно уже элементарно доказать непротиворечивость простой теории типов с аксиомой бесконечности. Простая теория типов с аксиомой бесконечности - очень обширная теория, естественно формализующая практически все разделы работающей классической математики. Таким образом, в силу известной теоремы Геделя, само доказательство устранимости сечения не может быть элементарным, - более того, оно не может быть даже проведено средствами такой сильной теории, как простая теория типов с аксиомой бесконечности. Доказательство устранимости сечения представляет поэтому замечательный пример весьма неэлементарного доказательства просто формулируемого синтаксического утверждения, представляющего несомненный интерес. С точки зрения оснований математики принципиальный интерес приобретает анализ формы этого доказательства. [42]
Оценка A произвольной формулы А определяется как пересечение для Л, пополнение объединения для V, стандартной конструкцией Крипке для импликации D, пересечение по d для V и пополнение пересечения по d для 3; J о. Для каждой формулы А ( и общее, секвенции ( Г - Д)) строится модифицированная модель Бета М такая, что истинность А в М ( то есть A Т) эквивалентна выводимости А. L ( A) [ соответственно, R ( A) ] - это множества тех точек р Е Т, где А входит в левую ( соответственно, в правую) часть секвенции. Стандартный результат о соответствии полученной оценки дереву поиска вывода, из которого она была извлечена, принимает вид: L ( A) С A; R ( A) П A С о. Эти соотношения влекут за собой полноту ( даже для универсальной модели одной для всех формул) и устранимость сечения. [43]
Как известно, обычные методы доказательства устранимости сечения, например, типа, приведенного нами в первой части, оказываются непригодными для логик высокого порядка. Причиной является непредикативный характер таких исчислений, в которых вместо параметров формул в определенных случаях разрешается подставлять термы, более сложные, чем сами исходные формулы. Из-за этого основная индукция по логической сложности главной формулы сечения разрушается и доказательство не проходит. Та-кеути [1] показал, что это обстоятельство не случайно: доказав устранимость сечения в простой теории типов, можно уже элементарно доказать непротиворечивость простой теории типов с аксиомой бесконечности. Простая теория типов с аксиомой бесконечности - очень обширная теория, естественно формализующая практически все разделы работающей классической математики. Таким образом, в силу известной теоремы Геделя, само доказательство устранимости сечения не может быть элементарным, - более того, оно не может быть даже проведено средствами такой сильной теории, как простая теория типов с аксиомой бесконечности. Доказательство устранимости сечения представляет поэтому замечательный пример весьма неэлементарного доказательства просто формулируемого синтаксического утверждения, представляющего несомненный интерес. С точки зрения оснований математики принципиальный интерес приобретает анализ формы этого доказательства. [44]
Как известно, обычные методы доказательства устранимости сечения ( см., например, [ 14, с. Причиной является непредикативный характер таких логик, в которых вместо параметров формул в определенных случаях разрешается подставлять термы, более сложные, чем сами исходные формулы. Из-за этого основная индукция по логической сложности главной формулы сечения разрушается, и доказательство не проходит. Такеути [15] показал, что это обстоятельство не случайно: доказав устранимость сечения в простой теории типов, можно уже элементарно доказать непротиворечивость простой теории типов с аксиомой бесконечности. Простая теория типов с аксиомой бесконечности - очень обширная теория, естественно формализующая практически всю работающую математику. Таким образом, в силу известной теоремы Геделя само доказательство устранимости сечения не может быть элементарным; более того, оно не может быть даже проведено средствами такой сильной теории, как простая теория типов с аксиомой бесконечности. С точки зрения оснований математики поэтому принципиальный интерес приобретает анализ формы доказательства устранимости сечения в простой теории типов. [45]