Cтраница 1
Изучение краевых задач для линейных уравнений эллиптического типа в классической постановке имеет длинную историю, и мы не имеем возможности ее излагать. Сама идея сведения эллиптического уравнения к гиперболическому известна давно и имеет разнообразные осуществления. [1]
Изучение краевых задач для линейных урагнешш эллиптического типа в классической постановке имеет длинную историю, ц мы не имеем возможности ее излагать Современные методы решения краевых задач для уравнений с аналитическими коэффициентами, основанные на сведеппп эллиптических уравнений к гиперболическим, даны в работах II. Сама идея сведения эллиптического уравнения к гиперболическому гзвестна давно и имеет разнообразные осуществления. Практически она была использована впервые Гансом Лепи в 1927 г. для доказательства аналитичности решения эллиптического уравнения с аналитическими коэффициентами. И Пскуа разработал этот метод систематически п подробно п применил его к решению краевых задач для уравнений не только второго порядки, но и пигптпк порядков. Векуа [1], па которую неоднократно делались ссылки. [2]
При изучении краевых задач для гиперболических уравнений весьма эффективным оказывается метод интегралов энергии. [3]
При изучении краевых задач для уравнения параболического типа весьма полезным является следующий Принцип максимума. [4]
Имея в виду изучение краевых задач для нелинейных эллиптических уравнений, необходимо более глубоко изучить решения линейных уравнений и установить для них возможно более тонкие оценки. Другими словами, надо оценить максимумы модулей и коэффициенты Гельдера решения задачи и его производных через исходные данные задачи и установить, какова будет гладкость решения при определенных предположениях относительно гладкости исходных данных задачи. Важность таких исследований отмечал Жиро еще в своих первых работах [2, 5], в которых ему удалось несколько продвинуть изучение этого вопроса, опираясь на доказанные им теоремы существования и применяя представление решений в виде потенциалов. [5]
Ряд работ посвящен изучению краевых задач для некоторых квазилинейных эллиптических и параболических уравнений, допускающих неявное вырождение. [6]
Используемый в книге метод изучения краевых задач и, частично, задачи Коши опирается на понятие обобщенного решения, что позволяет рассматривать уравнения с переменными коэффициентами столь же просто, как и простейшие уравнения: уравнение Пуассона, волновое уравнение и уравнение теплопроводности. Наряду с вопросами существования и единственности решений бсновных краевых задач в книге значительное внимание уделено приближенным методам их решения: методу Ритца в эллиптическом и методу Галеркина в гиперболическом и параболическом случаях. [7]
Когда эта теорема применяется к изучению краевых задач, рассматри-инемые пространства всегда сенарабельны. При таком предположении теорема доказывается без примег ения трансфинитной индукции. [8]
Из сказанного ясно, что при изучении краевых задач всегда следует исследовать вопрос о существовании и единственности решения. [9]
В главе III результаты общей теории применяются для изучения многомерных краевых задач в частных производных. Общие понятия главы I приводят нас к новым проблемам в краевых задачах. Получаемые здесь новые характеристики функций Грина и методы их конструкций могут иметь прикладное значение. [10]
Начиная с работ С. Л. Соболева [3-6] и его учеников, изучением краевых задач для уравнений, не разре -; тенных относительно старшей производной по времени, занимались многие математики. [11]
Приведенные выше рассмотрения наводят на мысль, что при изучении краевой задачи Дирихле (6.2) при условии (6.1) сделать можно очень немного. Однако необходимо указать, что, к счастью, задача Робена для рассматриваемого класса дифференциальных уравнений оказывается поставленной корректно 5) и поддается исследованию. Это утверждение не должно показаться слишком удивительным, если принять во внимание обсуждения, приведенные нами в гл. [12]
С одной стороны, псевдодифференциальные уравнения естественно возникают при изучении краевых задач для дифференциальных уравнений. При этом оказывается, что разрешимость полученного псевдодифференциального оператора эквивалентна разрешимости исходной краевой задачи. С другой стороны, теория псевдодифференциальных операторов оказывается очень полезной при изучении свойств дифференциальных уравнений. Например, для исследования разрешимости уравнений главного типа оказывается достаточным рассмотреть случай псевдодифференциальных уравнений первого порядка, что значительно облегчает исследование. [13]
Это позволяет активно использовать мощный аппарат теории аналитических функций при решении и изучении краевых задач для гармонических функций на плоскости. [14]
Очень важный случай, к которому применимо, предыдущее рассуждение, встречается при изучении краевых задач, содержащих параметр; см. гл. [15]