Cтраница 2
Работы, вошедшие в этот сборник, содержат полное изложение и приложения этой теории к изучению некоэрцитивных краевых задач для эллиптических уравнений. [16]
Под этим названием известен способ решения обобщенных краевых задач, который впервые был применен Вейлем [1] при изучении краевых задач для гармонических функций. Несмотря на то, что этот метод заставляет иначе ставить обобщенные краевые задачи, он очень похож на метод, примененный на несколько лет раньше Каччопполи и Чиммино и изложенный в основных чертах в предыдущем пункте. [17]
Пространства HS ( Q) с целыми неотрицательными s оказываются весьма полезными, в частности, при изучении краевых задач для эллиптических и гиперболических уравнений. [18]
И 1 н) пр п1ств Соболева бесконечного порядка. Они являются естественным средством изучения краевых задач й / Ш вырождающихся уравнений бесконечного порядка и, в частности, ММ урнвисний с переменными коэффициентами. [19]
Заметим, что метод динамического программирования позволяет свести задачу оптимального управления к исследованию задачи Коши (1.10), (1.11) для нелинейного уравнения в частных производных. В то же время с помощью принципа максимума решение задач управления сводится к изучению краевых задач для системы обыкновенных дифференциальных уравнений, что, вообще говоря, представляется более простым. [20]
В конечном счете наиболее нпжным вопросом, который возникает в теории эллиптических уравнений, является изучение краевых задач для этих уравнений. [21]
Соболева - Орлича бесконечного порядка и теории следов функций in этих классов. Как отмечалось во введении, теория нетрпвиально-1 ги функциональных пространств бесконечного порядка имеет первостепенное значение при изучении краевых задач для дифференциальных уравнений бесконечного порядка. [22]
Для регулярных решений уравнения (2.2) имеют место некоторые свойства максимума и минимума, играющие фундаментальную роль при постановке и изучении краевых задач для этогс уравнения. [23]
Заметим сразу, что этот метод до сих пор не дал результатов, сравнимых с результатами, которые получил Жиро, систематически применяя главные фундаментальные решения. Однако этот метод интересен именно потому, что он не требует предварительного построения фундаментального решения. Кроме того, он применим к изучению краевых задач для уравнений порядка 2г, где г 1, и, по крайней мере в случае т 2, является методом, который позволяет рассматривать эти краевые задачи при самых общих предположениях относительно коэффициентов уравнения ( см. гл. [24]
Здесь также важно отметить, что структура этих условий и характер установленных основных априорных оценок для решений уравнения ( 2) не зависят от константы параболичности уравнения. Это предопределяет возможность использования полученных результатов и при изучении краевых задач для квазилинейных вырождающихся параболических уравнений. [25]
В предыдущих главах изучение дифференциальных уравнений было в основном посвящено решению начальной задачи Ко-ши, в которой в качестве дополнительных условий задаются начальные условия, определяющие значения неизвестной функции и ее производных при фиксированном значении независимой переменной. Во многих случаях качестве дополнительных условий задаются граничные условия, определяющие значения неизвестной функции и ее производных ( или некоторых выражений от них) при нескольких фиксированных значениях независимого переменного. Исследование общих свойств и методов решения краевых задач и составляет содержание настоящей главы, при этом основное внимание будет уделено изучению краевых задач для линейных дифференциальных уравнений второго порядка. [26]
В предыдущих главах изучение дифференциальных уравнений было в основном посвящено решению начальной задачи, в которой в качестве дополнительных условий задаются начальные условия, определяющие значения неизвестной функции и ее производных при фиксированном значении независимой переменной. Во многих случаях в качестве дополнительных условий задаются граничные условия, определяющие значения неизвестной функции и ее производных ( или некоторых выражений от них) при нескольких фиксированных значениях независимого переменного. Исследование общих свойств и методов решения краевых задач и составляет содержание настоящей главы, при этом основное внимание будет уделено изучению краевых задач для линейных дифференциальных уравнений второго порядка. [27]