Cтраница 3
Это - первое критическое значение параметра А, определяющее момент первой бифуркации удвоения периода: появления 2-цикла. Проследим за появлением последующих бифуркаций с помощью приближенного приема, позволяющего выяснить некоторые качественные особенности процесса, хотя и не дающего точных значений характерных констант; затем будут сформулированы точные утверждения. [31]
Это - первое критическое значение параметра Я, определяющее момент первой бифуркации удвоения периода: появления 2-цикла. Проследим за появлением последующих бифуркаций с помощью приближенного приема, позволяющего выяснить некоторые качественные особенности процесса, хотя и не дающего точных значений характерных констант; затем будут сформулированы точные утверждения. [32]
Такой тип общения был бы совершенно невозможен, если бы не то обстоятельство, что интересные или глубокие математические истины растворены ( с небольшой плотностью) в массе всех возможных математических истин. Если бы передаваемая истина заключала в себе, скажем, неинтересное утверждение наподобие 4897 х 512 2507264, то второму собеседнику, естественно, придется полностью понять первого, иначе это точное утверждение не сможет быть передано. Но при сообщении математически интересного утверждения часто удается понять его интуитивно, даже если для его описания использовались расплывчатые образы и понятия. [33]
Приведенное определение позволяет говорить о локальных свойствах распределений. С другой стороны, оно позволяет судить о распределении в целом, если известно его локальное поведение. Точное утверждение на этот счет содержится в теореме 6.21. В его доказательстве используется разбиение единицы, которое мы и построим сначала. [34]
В первой статье мы уже отмечали, что в любом порядке по уб метод последовательных приближений всегда дает фазовый переход и получается уравнение состояния типа уравнения Ван-дер - Ваальса. Строго говоря, для 7X7V изотермы не имеют горизонтальной части, и поэтому нельзя говорить отдельно о плотностях двух совместно существующих фаз. Однако хотя трудно делать точные утверждения из-за той неопределенности, которая всегда возникает при попытках связать два различных асимптотических разложения одной и той же функции, можно разумным образом продолжить геометрическое место точек сосуществования фаз из двухфазовой области в критическую область. [35]
Основным объектом изучения в математической логике являются различные исчисления. В понятие исчисления входят такие основные компоненты, как: а) язык ( формальный) исчисления; б) аксиомы исчисления; в) правила вывода. Понятие исчисления позволяет дать строгое математическое определение понятию доказательства и получить точные утверждения о невозможности доказательства тех или иных предложений теории. [36]
Следовательно, все три элемента аи а2 и а3 приближаются к собственным значениям; но к каким именно собственным значениям, мы в общем случае сказать не можем. Исход в большой степени зависит от начального сдвига. Однако, если собственные значения получаются в естественном порядке, можно высказать точное утверждение относительно асимптотической скорости сходимости. [37]
По двум причинам едва ли возможно сделать это исчерпывающим образом. G), ( 55: K), ( 55: 1 /), довольно сложен; поэтому точное утверждение должно обязательно быть математическим, а не словесным. [38]
Метан, очевидно, находится в угле в какой-то химической связи, суть которой до сих пор остается неизвестной. При измельчении угля метан освобождается из высокомолекулярных соединений. Следовательно, механическое воздействие вызывает химические реакции и деполимеризацию, а значит и разложение молекулы угля, относительно которого до сего времени нельзя делать точных утверждений. [39]
Преобразование ( 32 5) имеет неподвижную точку - корень уравнения xt - 1 - Кх. Это - первое критическое значение параметра Я, определяющее момент первой бифуркации удвоения периода: появления 2-цикла. Проследим за появлением последующих бифуркаций с помощью приближенного приема, позволяющего выяснить некоторые качественные особенности процесса, хотя и не дающего точных значений характерных констант; затем будут сформулированы точные утверждения. [40]
Из двух эквивалентных бесконечно малых одна может быть очень простой, а другая-сложной. При этом вычисления упрощаются. Точное утверждение сформулировано ниже. [41]
Псевдовероятностный и нечеткий подходы к рассуждению с неполными или ненадежными данными отходят от исчисления предикатов за счет введения понятия неточности. Возможны и другие подходы. Например, в упомянутой в предыдущей главе работе с пересмотром убеждений делается попытка справиться с неполнотой информации, сохраняя в то же время точность, присущую исчислению предикатов. Системы с пересмотром убеждений допускают точные утверждения о неполной информации. Любая нечеткость в них проявляется как немонотонность на уровне рассмотрения системы в целом. [42]
Очень часто расчет различных магнитогидродинамических устройств проводят с использованием одномерной теории. При этом очевидно, что отсутствие неустойчивости, получающееся при расчете по одномерной схеме, не гарантирует отсутствия неустойчивости в реальном двумерном или трехмерном течении, так как неустойчивость может появляться вследствие наличия каких-либо особенностей, не учитываемых одномерной теорией. Наоборот, неустойчивость одномерной схемы свидетельствует, по-видимому, о неустойчивости реального течения, хотя каких-либо точных утверждений на этот счет в литературе не имеется. [43]
Можно легко найти изъяны в подобных формулах - скажем, показав, что употребление знака плюс в них неверно. По забрызганному дождем оконному стеклу сползают две капли; у самой рамы они сливаются в одну. Из одного облака рождаются два; не доказательство ли это той же идеи. Отличить случаи, в которых мы можем говорить о сложении, от тех, где нам нужно какое-то другое понятие, не так-то просто. Размышляя об этом, мы, возможно, додумаемся до таких критериев, как разделение объектов в пространстве и их четкое отличие друг от друга. В точных утверждениях такого рода есть нечто странное, так как сами понятия язык и диалект довольно расплывчаты. [44]
Мы видим, что два атома водорода с полным электронным спином, равным единице, ие могут образовать связанного состояния, так как Е2 не имеет минимума. Связанное состояние может быть лишь синглетным состоянием. Энергия связи не очень хорошо совпадает с экспериментальными значениями. Это обусловлено тем, что оператор, выбранный в качестве возмущения, не содержит малого параметра и не мал по сравнению с невозмущенным оператором. Однако общий качественный вывод о природе химической связи с образованием устойчивой молекулы из двух атомов правилен. Устойчивость молекулы целиком определяется величиной и знаком обменного интеграла. Именно, для образования устойчивого химического соединения необходимо ( хотя и недостаточно), чтобы спины атомов были антипараллельны. Это обстоятельство часто подменяют не вполне точным утверждением - силы химической связи являются обменными силами. В § 67 мы подробно обсудили квантовомеханическую теорию обменных сил и смысл такого рода формулировок. Во всяком случае, несомненно, что силы, ответственные за образование гомео-полярных химических соединений, имеют специфический кван-товомеханический характер. Часто говорят также, что связываются антипараллельные спины. Предыдущий расчет ясно показывает большую степень условности такой терминологии. [45]