Cтраница 3
Вообще, само разделение геометрических задач на задачи на вычисление и задачи на доказательство чисто условно. Из приведенных выше примеров ( см. задачи 1, 2, 8) видно, что доказать необходимое удается подчас, лишь проведя некоторые вычисления. С другой стороны, существует много вычислительных задач, при решении которых центральное место занимают, однако, не выкладки, а доказательство некоторого факта. Точно так же в следующей задаче без полного обоснования нужного утверждения мы не смогли бы провести вычисления, ибо только в ходе доказательства удается нащупать путь, позволяющий подсчитать ответ. [31]
Согласно свойству ( 4), мы имеем отображение 5 - Я, являющееся вложением ввиду того, что оно согласовано с умножением. Оно продолжается до вложения i: S W - Я. Но решетка Я унимодулярна ввиду того, что произведение удовлетворяет теореме двойственности Пуанкаре. Поэтому d ( H) ( 1) и мы получаем нужное утверждение. Поучительно сравнить это рассуждение с первым доказательством Артина, основанным на применении плоских ко-гомологий. Вложение 5 Zp - Я продолжается до гомоморфизма 5 ( 8 Zp - Я, который тоже является вложением, так как сохраняет произведение. [32]
Читатель может удивиться - зачем нам понадобились формулы (7.1.4), (7.1.5): ведь они не эквивалентны первоначальной задаче нахождения наибольшего паросочетания. Однако в случае двудольных графов мы можем легко показать, что среди оптимальных решений задачи (7.1.4), (7.1.5) найдется решение, являющееся 0 - 1-вектором. В самом деле, решения ограничений (7.1.5) образуют политоп M ( G) и среди его точек, максимизирующих линейную целевую функцию 1 - х, будет хотя бы одна вершина. Следовательно, если мы покажем, что вершины политопа M ( G) являются 0 - 1-векторами, то нужное утверждение будет тем самым обосновано. Принимая во внимание неравенства (7.1.3), достаточно доказать целочисленность вершин политопа. Напомним, что вершина политопа, находящегося в пространстве Ж5, может быть получена как единственная точка пересечения некоторых q гиперплоскостей, соответствующих каким-то его граням. [33]
Две получившиеся в сечении окружности имеют единственную общую точку А и поэтому касаются. Точка, касания двух окружностей лежит на прямой, проходящей через их центры. Значит, точка О лежит на прямой АО-г и, следовательно, в плоскости AO % S проходящей через точку А и ось конуса 5 02 - Если точка О совпадает с О, то нужное утверждение доказано. Если же точки О и О различны, то можно утверждать, что отрезок ОО, соединяющий центр шара с центром сечения, перпендикулярен плоскости сечения. Прямые SOy ( ось конуса) и ОО перпендикулярны плоскости о, а потому параллельны. [34]
Действительно, ведь нам отнюдь не требовалось определить точное число решении, допускаемых задачей. Вопрос о точном числе решений кросснамбера мы умышленно обошли молчанием, поскольку он гораздо сложнее и ответ на него сопряжен с большей затратой труда, чем решение большинства задач, собранных в этой книге. Мы сообщим лишь о тех решениях задачи и их числе, которые можно получить сравнительно просто ( далеко не всякая задача допускает изящное и неожиданное решение, основанное на какой-нибудь тонкой идее), и наметив в оо-ших чертах, каким образом можно было бы проверить нужные утверждения. [35]
Строим тень вершины: поскольку SO fA, то через эти прямые можно провести вертикальную плоскость, и тень С от вершины S - это точка пересечения лежащих в этой плоскости прямых IS и АО. Теперь из точки С проводим касательные С / С и СМ к окружности основания конуса. Тогда СМ 1 МО, CM L SO, и следователь но, прямая СМ перпендикулярна к плоскости SOM. Но по построению ON перпендикулярен к SM, следовательно, ON перпендикулярен к плоскости CSM. Тем самым нужное утверждение доказано. [36]
Строим тень вершины: поскольку 50 / Л, то через эти прямые можно провести вертикальную плоскость, и тень С от вершины S - это точка пересечения лежащих в этой плоскости прямых / S и АО. Теперь из точки С проводим касательные СК и СМ к окружности основания конуса. L МО, CM JL SO, и следовательно, прямая СМ перпендикулярна к плоскости SOM. Но по построению ON перпендикулярен к SM, следовательно, ON перпендикулярен к плоскости CSM. Тем самым нужное утверждение доказано. [37]
G ( 0) шг ен G ( х), остается показать, что G ограничена снизу и достигает своего инфимума. Положим а infxeH G ( х), и пусть хп - такая последовательность, что G ( xn) а. Используя еще раз то, что F имеет аффинную миноранту, получаем, что хп ограничена и, следовательно, имеет подпоследовательность a: nft, слабо сходящуюся к элементу х0 6 Я. G ( хл) lim G ( Xnh) а, и нужное утверждение получено. [38]