Cтраница 2
Доказательство состоит из 8 шагов. Характерная его черта - доказательство сначала некоторого более слабого утверждения, а затем усиление последнего. [16]
X и X каждое насыщенное подпространство каждого из пространств обладает свойством строгой спаренности. Вопрос о том, будет ли справедливым такое же или, может быть, более слабое утверждение относительно свойства квазистрогой спаренности для пары произвольных банаховых пространств, остается открытым. [17]
Набросок доказательства более слабого утверждения содержится в упр. [18]
Как мы дальше увидим, в этом случае точный аналог теоремы 9 не имеет места. VII вытекает следующее, более слабое утверждение. [19]
Покажите, что теорема о корректности ( в отличие от теоремы о строгой корректности) может быть доказана без обращения к аксиоме зависимого выбора. Воспользуйтесь тем фактом, что если существует опровержение для Д, то существует и такое опровержение, которое содержит лишь конечное множество предложений. Можно дать такое доказательство результата модификации теоремы строгой корректности, получаемого вставкой в ее утверждение слов конечной длины в связи со словом вывод, которое использует ссылки лишь на упомянутые выше более слабые утверждения взамен аксиомы зависимого выбора. В приведенном нами ранее доказательстве мы нуждались в аксиоме зависимого выбора для того, чтобы обеспечить существование С, если Х бесконечно; если же Х предполагается конечным, нам достаточно только этого ослабленного утверждения. [20]
В ( И) и ( 12) можно свободно поменять местами придаточные предложения, и это никак не повлияет на истинность предложений ( 11) и ( 12) в целом. Главное предложение вместе с придаточным выражает только одно суждение, и истинность целого сложноподчиненного предложения не зависит от истинности или ложности его придаточного. Однако в самом придатчном в этих случаях нельзя заменить некоторое выражение на другое выражение, имеющее тот же самый обычный денотат; его можно заменять только выражением с тем же самым косвенным денотатом, то есть с тем же самым обычным смыслом. Здесь можно возразить, что денотатом предложения вообще не может считаться его истинностное значение, поскольку, если бы это было так, то любое предложение всегда можно было бы заменить на любое другое с тем же самым истинностным значением. Очевидно, однако, что это - слишком сильное утверждение; с таким же успехом можно утверждать, что денотатом выражения Утренняя звезда не является планета Венера, так как это выражение далеко не всегда можно заменить словом Венера. Мы можем сделать лишь более слабое утверждение: точно так же, как выражение Утренняя звезда не всегда обозначает планету Венеру ( а именно, Утренняя звезда не обозначает Венеру в тех случаях, когда это выражение употреблен но с косвенным денотатом), денотатом предложения не всегда бывает его истинностное значение. Приме ром являются придаточные предложения в ( И) и ( 12): их денотатом является суждение. [21]
Пусть ( J - номер точки первого пересечения v с w2, будем считать р положительным, если v впервые пересекает w2 сверху. Оказывается, что р нечетно, и число компонент равно 1, если а нечетно, и 2 в противном случае. Легко показать, что группы 2-мостовых узлов допускают представления с одним определяющим соотношением. Если отбросить ориентацию, то есть рассмотреть только множества точек, заданных кривыми, то второе условие ослабляется: p 1 p / moda. Эти условия являются также необходимыми и достаточными для изоморфности групп узлов. Классификация таких узлов ( Шуберт [173]) была осуществлена при помощи весьма сложных топологических рассуждений; имеется красивое геометрическое доказательство Зайферта несколько более слабого утверждения, использующее разветвленные двулистные накрытия. [22]