Cтраница 3
Доказать соотношения 6 - 13 теоремы 1.2, исходя из отношения принадлежности. Попробуйте получить эти же результаты, пользуясь только теоремой 1.1. Хотя бы для одного такого доказательства выпишите соотношения, двойственные каждому его шагу, чтобы получить доказательство двойственного утверждения. [31]
Предложение 3.1 и лемма 3.2 были приведены как, примеры формулирования двойственных высказываний. В дальнейшем мы, как правило, не будем формулировать утверж дения, двойственные к уже доказанным категорным утверждениям, хотя иногда будем на них ссылаться, предполагая, что читатель сам сможет сформулировать их. При ссылке на двойственное утверждение, будет использоваться номер доказанного утверждения, снабженный звездочкой. [32]
Подобным же образом для каждой теории когомологии может быть построена двойственная теория гомологии. Следовательно, теории гомологии ц когомологии составляют двойственные пары; при этом, преобразование одной теории в другую, с точностью до естественных эквивалентностей, является инволюцией. При переходе к двойственному утверждению группы заменяются их группами характеров, гомоморфизмы меняют направление, подгруппы заменяются факторгруппами, и наоборот. Примерами могут служить сами аксиомы Стинрода - Эйленберга. [33]
Следовательно, если в справедливом утверждении, касающемся операций U, П, -, мы всюду заменим и на П и П на U, то получим также справедливое утверждение, касающееся операций U, П, -, причем второе утверждение называется двойственным к первому. Отметим, что замена U на П и П на U в определениях ( 10) и ( 4) переводит единицу в нуль и нуль в единицу, а с в ID и наоборот. Поэтому, чтобы получить двойственное утверждение, мы должны заменить всюду нуль на единицу и наоборот, а с на ID и наоборот. Этот общий метод конструирования двойственных утверждений называется принципом двойственности. [34]
Следовательно, если в справедливом утверждении, касающемся операций U, П, -, мы всюду заменим и на П и П на U, то получим также справедливое утверждение, касающееся операций U, П, -, причем второе утверждение называется двойственным к первому. Отметим, что замена U на П и П на U в определениях ( 10) и ( 4) переводит единицу в нуль и нуль в единицу, а с в ID и наоборот. Поэтому, чтобы получить двойственное утверждение, мы должны заменить всюду нуль на единицу и наоборот, а с на ID и наоборот. Этот общий метод конструирования двойственных утверждений называется принципом двойственности. [35]
Обычно проблему левой делимости ( ПЛД) [ проблему правой делимости ( ППД) ] рассматривают для моноидов, считая тем самым отношение делимости рефлексивным. Кроме того, нередко, говоря о разрешимости проблем делимости, имеют в виду, что алгоритм выдает и соответствующее частное. В полугруппе с одним специальным определяющим соотношением и 1 разрешимы все три проблемы: ПРС, ПЛД и ППД. ПЛД, но с разрешимыми ПРС и ППД; разумеется, верно и двойственное утверждение. [36]