Cтраница 3
Изложенный принцип доказательства алгоритмов имеет другой, может быть, даже более важный аспект: он отражает, каким образом мы понимаем алгоритм. Помните, в § 1.1 мы предупреждали читателя, чтобы он не надеялся читать алгоритм как роман; рассматриваемый алгоритм рекомендуется несколько раз испытать на некоторых типичных входных данных. Это надо делать потому, что конкретные примеры выполнения алгоритма помогают исполнителю самостоятельно сформулировать различные утверждения, которыми следует снабдить стрелки. Эта точка зрения имеет важное психологическое следствие: для того чтобы алгоритм был правильно понят другим лицом ( или тем же самым лицом, просматривающим свои собственные алгоритмы после нескольких месяцев перерыва), необходимо, чтобы ключевые утверждения, те утверждения, которые не могут быть получены механически, всегда были четко изложены. [31]
В большинстве приложений мы будем иметь дело с конечным множеством индексов /, но рассмотрение бесконечных алгебраических расширений приобретает все большее значение, и мы с ними систематически будем сталкиваться. Следует также заметить, что доказательства различных утверждений, которые мы будем приводить, не стали бы проще, если бы мы ограничились конечными расширениями. [32]
Это пока единственный язык, для которого ( или подмножества которого) созданы программные системы, позволяющие доказывать правильность программ. Язык программирования Паскаль описывается с помощью аксиоматической системы К. Хоара, для которой имеется хорошо разработанный математический аппарат, позволяющий доказывать различные утверждения об участках программы или обо всей программе в целом. Так как программы, используемые на практике, являются чрезвычайно сложными и имеют тенденцию становиться все более сложными, ошибки при программировании всегда будут появляться. [33]
Эти усилия достигли кульминации в создании математической логики - знакомых нам пропозициональной логики, логики первого и высших порядков. Был выработан своеобразный подход. Логика, в которую оказалась включенной вся математика, стала рассматриваться как игра ничего не обозначающими символами, ведущаяся по определенным, чисто синтаксическим правилам. Вся Семантика была полностью изгнана из этой игры. Получилась механическая, хотя и довольно свободная ( сейчас мы бы на-зйали ее нед-етерминистской) система, о которой можно было доказывать различные утверждения. [34]
При малом возмущении такой динамической системы связка может нарушиться. Структурная устойчивость двумерных потоков - это утверждение теоремы Лейксото: динамическая система, порожденная векторным полем гладкости С на компактном двумерном многообразии М, структурно устойчива, если и только если: 1) число неподвижных точек и замкнутых траекторий конечно и каждая из них является гиперболической, 2) отсутствуют седловые связки и 3) неблуждающее множество состоит только из неподвижных точек и периодических траекторий. Если М - ориентированное многообразие, то множество структурно устойчивых векторных полей открыто и плотно в пространстве всех полей той же гладкости. Доказательство подобных утверждений достаточно сложно, поэтому касаться его в этой книге мы больше не будем. Вместе с тем сам факт, что кажущееся очевидным на первый взгляд утверждение удалось строго обосновать, представляется весьма важным. Обратим внимание на то, что в истории нелинейной динамики принципиальные трудности на пути доказательства различных утверждений оказывались признаком нового нелинейного явления или необходимости кардинально изменить постановку задачи. Достаточно напомнить проблемы, с которыми столкнулся А. Пуанкаре при анализе задачи трех тел, предвосхитившие проблематику теории динамического хаоса в гамильтоновых системах, работу Смейла, открывшую поток статей по рождению хаотических аттракторов, и многие другие. [35]
В § 3.2 будет приведен подходящий пример решения задачи Плато, а в § 3.3 мы кратко обсудим граничное поведение решений задач с частично свободной границей. Единственными геометрическими особенностями минимальных поверхностей в их внутренних точках явлются точки ветвления. В § 3.4 будет показано, что данное утверждение сохраняет силу и на границе. Это вытекает из асимптотического разложения, впервые указанного Хейнцем, которое получается методом Хартмана-Уинтнера. Результаты о граничной регулярности, полученные на этом пути, дают возможность установить различные геометрические оценки для минимальных поверхностей, такие как изопериметрические неравенства и оценки длины свободных следов. Вместе с теоремами замыкания, выведенными, например, из принципа максимума, оценки такого типа доставляют некоторое ( довольно грубое) представление о минимальной поверхности с заданной границей и приводят к различным утверждениям о компактности минимальных поверхностей. [36]