Cтраница 4
Теория пространств Минкопского была развита за последнее иремя очень далеко, однако в другом направлении. В конце гланы мы исследуем другое дезаргопо пространство, которое было указано Гильбертом. Оно доставляет ценный пример для исследования свойств параллельных и для изучения пространств неположительной кривизны. Эта метрика используется также для построения Q-пространства в заданном открытом выпуклом подмножестве Ап с обыкновенными прямыми в качестве геодезических. [46]
Вторая существенная компонента школьной геометрии - это измерение длин и углов и выяснение соотношений между линейными и угловыми элементами различных фигур. Потребовалось длительное историческое развитие, прежде чем было осознано, что в основе этих измерений лежит существование отдельного математического объекта - группы движений евклидовой плоскости или евклидова пространства как целого, и что все метрические понятия могут быть определены в терминах этой группы. Клейна ( 1872) зафиксировала понимание этого замечательного принципа, и геометрией надолго стало изучение пространств М, снабженных достаточно большой группой симметрии, и свойств фигур, инвариантных относительно действия этой группы, включая углы, расстояния и объемы. [47]
Уточнение пустоты после любого геофизического метода производится, как правило, бурением скважин. Однако часты случаи, когда трудно пробурить контрольную скважину так, чтобы она прошла через подземную полость. Здесь для подтверждения наличия полости и уточнения ее местоположения могут быть использованы различные методы изучения околоскважинного пространства. Во Франции разработан электромагнитный метод ( патент Ы510996, А - / А7 / G 01 г. замн. По изменению симметричности поля делается вывод о наличии полости. [48]
Эта глава и последующие главы VI и VII посвящены различным способам представления трехмерных многообразий. Важность этой темы связана, по крайней мере, с тремя обстоятельствами. Прежде всего, мир, в котором мы живем, традиционно считается трехмерным, и даже добавление времени в качестве четвертой координаты, ставшее уже обычным в физике, не уменьшает значения изучения трехмерных пространств. Во-вторых, мы способны зрительно представить себе наше трехмерное пространство лишь локально, поэтому нужны формальные способы представления глобальной структуры различных возможных миров. Наконец, не известна пригодная для применения на практике классификация трехмерных многообразий, причем эта открытая проблема в настоящее время бурно разрабатывается. [49]
Риман построил и более общую геометрию, включающую и геометрию Лобачевского и эллиптическую геометрию, - так называемую риманову геометрию. Вслед за геометрией трехмерного пространства была построена геометрия многомерного евклидова пространства, а затем и многомерные геометрии Лобачевского-эллиптическая, проективная, аффинная и конформная. Изучение пространства - времени специальной теории относительности привело к геометрии псевдоевклидова пространства. Вслед за римановой геометрией, являющейся наиболее общей геометрией и совпадающей с евклидовой в бесконечно малом, появилась псевдориманова геометрия - наиболее общая геометрия, совпадающая в бесконечно малом с псевдоевклидовой геометрией; такой геометрией является геометрия пространства - времени общей теории относительности. Затем были созданы геометрии аффинной, проективной и конформной связности - наиболее общие геометрии, совпадающие в бесконечно мал ом соответственно с аффинной, проективной и конформной геометриями; с некоторыми из этих геометрий совпадают геометрии пространства - времени различных единых теорий поля. Далее, вслед за многомерной геометрией была построена геометрия бесконечномерного пространства, ставшая одним из основных методов функционального анализа, на котором основан математический аппарат квантовой физики. Кроме новых геометрий появились новые алгебраические системы - группы, кольца, поля, алгебры, - относящиеся к классическим числовым системам как новые многомерные пространства к классическому пространству Евклида, а затем и такие новые математические системы, которые не имеют классических аналогов. Все эти замечательные открытия, совершенно изменившие характер математики, смогли появиться только благодаря великому открытию Лобачевского. [50]
Фано впервые обратил внимание на важную роль, которую играют в теории конечных геометрий плоскости - названные затем плоскостями Фано - в которых диагональные точки любого полного четырехугольника кол-линеарны. Оказалось, что любая плоскость Фано изоморфна плоскости Галуа четного порядка. Таким образом, изучение проективных пространств, в которых каждый плоский четырехугольник есть четырехугольник Фано, уже не связано с какими-либо новыми принципиальными проблемами, изучение этих пространств можно считать, с указанной выше точки зрения, завершенным. [51]
Наиболее естественный способ состоит в том, что определяется понятие сходимости последовательности точек. Этот способ нехорош тем, что понятие сходимости должно удовлетворять ряду условий, смысл которых не слишком нагляден. Тем не менее при изучении пространств, точками которых являются функции, этот способ задания топологии имеет своя преимущества. Очень употребителен способ задания топологии в пространстве с помощью системы окрестностей. Можно задать топологию, объявив, какие подмножества пространства являются открытыми множествами. [52]