Cтраница 2
Интерес к линейным динамическим системам определяется тем, что многие инженерные задачи сводятся к исследованию таких систем. Для изучения линейных систем развиты общие методы, обладающие высокой степенью совершенства. Особой простотой отличается математический аппарат линейных систем с постоянными коэффициентами. Указанное обстоятельство приводит к тому, что инженеры стремятся проектировать линейные динамические системы с постоянными коэффициентами, хотя бы на небольших интервалах изменения переменного. [16]
В эквивалентности двух форм интеграла ( 119), так же как и ( 90), легко убедиться, изменив переменные. Рассмотрим гораздо подробнее свертку в следующей главе, где она применяется при изучении линейных систем передачи. [17]
Для теоретического исследования систем регулирования и управления прежде всего следует составить уравнения, описывающие их работу. Этими уравнениями обычно являются дифференциальные уравнения того или иного вида. В настоящей главе ограничимся изучением только обыкновенных линейных систем, поведение которых описывается обыкновенными линейными дифференциальными уравнениями с постоянными коэффициентами. [18]
Формулируемые ниже четыре задачи стоят на разных уровнях. Решениям этих задач посвящено много специальных монографий. Четвертую задачу, предваряющую изучение линейных систем, полезно попробовать тут же решить, не заглядывая в следующий параграф, где приводится нужное рассуждение. [19]
Выше было показано, что удобный способ изучения линейных систем состоит в подведении на вход единичного импульса и наблюдении получающегося при этом выходного сигнала. Помимо единичного импульса ( или единичной ступени, которая очень просто связана с единичным импульсом), при изучении линейных систем имеет первостепенное значение другой элементарный входной сигнал, а именно экспоненциальный сигнал. Таким образом, экспоненциальный входной сигнал создает экспоненциальный выходной сигнал с тем же показателем. [20]
Вопрос о неограниченных спектральных операторах будет подробно рассмотрен в гл. XVIII, а многие применения таких операторов даны в гл. Настоящая глава является кратким введением в эту тему; наша цель - показать, что ряд критериев спектральности операторов из алгебры 21р может быть перенесен на определенный класс неограниченных операторов, возникающих при изучении линейных систем уравнений в частных производных с постоянными коэффициентами. [21]
Теория нелинейных колебаний, или нелинейная механика, посвящена изучению колебательных движений, описываемых нелинейными дифференциальными уравнениями. Нелинейная механика дает иногда более точное представление о свойствах колебательных движений механических систем. Как можно было заметить выше, линейные системы получаются в результате упрощения нелинейных. Поэтому изучение линейных систем дает возможность сделать лишь некоторые заключения о свойствах малых движений, однако такое представление может оказаться лишь приближенным. [22]
Главы 6 - 8 посвящены линейным системам. Глава 6 содержит общую теорию неавтономных систем, включая формулу вариации постоянных, формально сопряженные уравнения, истинно сопряженные уравнения и краевые задачи. Даются некоторые соотношения между различными типами устойчивости для линейных систем. Глава 7 содержит фундаментальную теорию линейных автономных функционально-дифференциальных уравнений. В пей показывается, как связана теория таких уравнений с теорией обыкновенных линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами, включая разложение, аналогичное разложению матриц на жордановы клетки. Эти результаты являются основными при изучении возмущенных линейных систем, а также для теории типичности. Глава 8 посвящена тем же вопросам, что и гл. [23]