Cтраница 2
Единичные события в статистике обычно не рассматриваются. Массовые события или явления составляют непосредственный объект изучения теории вероятностей и статистики. Представление о таких событиях мы связываем с понятием испытания. Если осуществляются определенные условия, позволяющие судить о наступлении какого-нибудь события, то мы гово-рим, что производится испытание. Пусть, например, в ящике ( урне) находятся одинаковые по размеру, весу и материалу шары, имеющие разную окраску. [16]
Прежде всего, рассмотрим наиболее благоприятный для исследования, так сказать, доброкачественный вид неопределенности. Это случай, когда неизвестные факторы представляют собой обычные объекты изучения теории вероятностей - случайные величины ( или случайные функции), статистические характеристики которых нам известны или в принципе могут быть получены к нужному сроку. [17]
Прежде всего, рассмотрим наиболее благоприятный для исследования, так сказать, доброкачественный вид неопределенности. Это случай, когда неизвестные факторы & представляют собой обычные объекты изучения теории вероятностей - ел уч а иные величины ( или случайные функции), статистические характеристики которых нам известны или в принципе могут быть получены к нужному сроку. [18]
Заметим еще, что то обстоятельство, что во всех приведенных выше примерах алгебра Буля задавалась как совокупность множеств, составленных из точек одного наибольшего множества, не является случайным - такое задание этой алгебры возможно во всех теоретико-вероятностных задачах. Исходя отсюда, можно даже с caMOi - начала считать основным объектом изучения теории вероятностей не нормированную алгебру Буля всевозможных событий, а некоторое полное множество элементарных событий, различные части ( подмножества) которого и отождествляются затем с событиями. Для того, чтобы сделать эти рассуждения вполне закопченными, надо только сопоставить еще подмножествам А нашего множества всех элементарных событий определенную норму р ( А) и перечислить основные требования ( аксиомы), которым должны удовлетворять сами рассматриваемые подмножества и их нормы, чтобы мы действительно имели нормированную алгебру Буля. Такой метод аксиоматического построения теории вероятностей ( предложенный в 1929 г. А. Н. Колмогоровым) обладает определенными преимуществами перед методом, изложенным выше в настоящем параграфе, при исследовании более сложных и тонких вопросов теории и поэтому он является в настоящее время наиболее распространенным; более подробное его изложение увело бы нас, однако, слишком далеко в сторону от нашей основной темы. [19]
Помещаемый ниже список литературы содержит практически все известные учебники и сборники задач по теории вероятностей, изданные в нашей стране за последние пятьдесят лет. Кроме того, в список включены некоторые переводные издания, полезные при изучении теории вероятностей в целом или ее специальных разделов. Перечисленные в пункте III учебные пособия не используются в университетах, но они содержат материал, представляющий интерес для приложений. [20]
В новом издании ( первое выходило в 1978 г.) расширены разделы: Математическая статистика и Элементы теории случайных процессов и усовершенствовано изложение остальных разделов; добавлены задачи, в которых требуется моделировать различные случайные явления, полезно использование ЭВМ. Расширение указан-ных выше разделов позволит использовать книгу также в вузах, в которых на изучение теории вероятностей отводится более одного семестра; в частности, книга может быть использована при изучении полугодового факультативного курса математической статистики. [21]
Можно ли при помощи одних только рассуждений решить вопрос о том, какой из этих двух анализов задачи о бросании двух монет правилен. Конечно, здесь могут быть разногласия: одни вы-берут три равновозможных исхода, другие - четыре равновозможных исхода, Когда мы несколько больше продвинемся в изучении теории вероятностей, мы обнаружим, что решение с четырьмя равновоз-можными исходами соответствует предположению о независимости исхода подбрасывания первой монеты от исхода подбрасывания второй. А это предположение по мнению большинства специалистов вполне соответствует фактам. [22]
Действительная функция Х ( ( й) называется случайной величиной ( ел. &, - оо а6 оо, подмножество ы: А ( со) е / д, ь ] входит в з &. Понятно, что это требование является необходимым для тою, чтобы функция Х ( со) могла служить объектом изучения теории вероятностей. [23]
В современной теории вероятностей математической моделью случайного выбора является мера, заданная на соответствующем множестве элементарных событий. Эта концепция сформулирована 60 - 70 лет тому назад в виде так называемой аксиоматики Колмогорова. Тот, кто начинает изучение теории вероятностей, должен понимать, что эта концепция не обладает такой простотой, ясностью и законченностью, как классическая концепция дискретного пространства элементарных событий; более того, кроме ряда значительных преимуществ она имеет и недостатки. [24]
Вышедшая в свет в 1912 году, эта книга стала учебным пособием для многих математиков, а также специалистов в различных областях науки, инструментом исследований которых стали теоретико-вероятностные методы. Очевидно, что в двадцатом веке теория вероятностей существенно продвинулась вперед как в научном, так и в методическом направлениях. Пожалуй, не имеет смысла перечислять огромное количество учебников, в которых изложены современные концепции теории вероятностей. Однако, увлекаясь формально-логическим описанием понятий теории вероятностей, авторы книг забывают о природе появления случайности, о приложении тех теоретических результатов, которые ими получены. Пуанкаре в своей книге не дает точных определений некоторых понятий, оставляет без строгих доказательств некоторые результаты, останавливаясь в основном на их идейном обосновании и подтверждении в приложениях. Такой подход дает возможность изучения теории вероятностей, не требующего овладения тяжелым математическим аппаратом, что делает эту книгу доступной для достаточно широкого круга читателя. [25]