Cтраница 2
Доказать, что если в модуле М выполнено условие максимальности для подмодулей ( см. задачу 1813), то это условие выполнено в фактор-модуле М А модуля М по любому подмодулю А. [16]
Параллельно тому, как это делалось для пар, по обычной схеме определяются гомоморфизмы, изоморфизмы и эквивалентности Q-модулей, а также подмодули и фактор-модули Q-модулей. Так, например, подмодуль состоит из пары ( Я. G, допустимая относительно Q-подполугруппы L из К, и индуцированного представления L относительно Я. [17]
Лемма 3.4. Если М - тривиальный G-модуль, то для любого правого G-модуля А тензорное произведение А с М канонически изоморфно тензорному произведению AG ( S) M, где AG A / AJG - наибольший фактор-модуль, действие группы G на котором тривиально. [18]
Доказать, что фактор-модуль М / А изоморфен как модуль над R модулю В. [19]
Фундаментальная роль проективных и инъективных объектов была выявлена при построении гомология, алгебры. В категориях модулой всякий модуль представим в виде фактор-модуля проективного модуля. [20]
Подгруппа N с: М, инвариантная относительно умножения на элементы из К, называется подмодулем. Фактор-группа M / N в этом случае также является Д - модулем и называется фактор-модулем. Индекс К часто опускают. В категории / ( - модулей существуют суммы, произведения, проективные и индуктивные пределы любого семейства объектов. [21]
Тогда R является, в частности, правым кольцом Оре и поэтому каждый правый - модуль М обладает периодическим подмодулем tM, фактор-модуль M / tM по которому не имеет кручения ( ср. [22]
Допустим, далее, что G - левый L-модуль конечно-зяачных Л / - строк и К рассматривается как кольцо операторов этого модуля. Легко видеть, что U - подмодуль в G, допустимый относительно К, и, кроме того, U и Н аннулируют фактор-модуль G / U. [23]
Заметим прежде всего, что достаточно построить G-модуль, содержащий максимальный вектор веса А. В самом деле, предложение 31.2 показывает, что подмодуль, порожденный этим вектором, обладает максимальным подмодулем, не содержащим веса А, так что нам требуется только перейти к ( неприводимому) фактор-модулю. Это наблюдение полезно, когда мы имеем дело с тензорными произведениями. [24]
Чем каждое из их неприводимых слагаемых изоморфно одному из модулей Mt. Каждый подмодуль модуля М выделяется прямым слагаемым. Каждый фактор-модуль модуля М изоморфен его подмодулю. [25]