Cтраница 2
Рассмотрим операцию сложения точек, для иллюстрации которой нам служил рис. 62 на стр. I, справедливо для каждой плоскости Фано. [16]
Если для четырехугольника N выполняется условие 2 0, то N есть четырехугольник Фано. Если это же условие выполняется для каждого четырехугольника на плоскости Н, то Я называется плоскостью Фано. Структура плоскости Фано полностью описана Глисоном. Ломбарде Ра-диче высказал предположение, что все плоскости характеристики р являются плоскостями Галуа. [17]
Плоскость Фано обладает R-свойством ( см. параграф 3.4) при любом выборе трех коллинеарных точек X, Y, Z. Семейства прямых х, у, z образуют R-сеть; этот факт эквивалентен ассоциативности операции, порожденной сетью), а как мы видели, ассоциативность имеет место в случае плоскости Фано. [18]
Если для четырехугольника N выполняется условие 2 0, то N есть четырехугольник Фано. Если это же условие выполняется для каждого четырехугольника на плоскости Н, то Я называется плоскостью Фано. Структура плоскости Фано полностью описана Глисоном. Ломбарде Ра-диче высказал предположение, что все плоскости характеристики р являются плоскостями Галуа. [19]
Фано впервые обратил внимание на важную роль, которую играют в теории конечных геометрий плоскости - названные затем плоскостями Фано - в которых диагональные точки любого полного четырехугольника кол-линеарны. Оказалось, что любая плоскость Фано изоморфна плоскости Галуа четного порядка. Таким образом, изучение проективных пространств, в которых каждый плоский четырехугольник есть четырехугольник Фано, уже не связано с какими-либо новыми принципиальными проблемами, изучение этих пространств можно считать, с указанной выше точки зрения, завершенным. [20]
Подплоскости Фано в проективной плоскости PG ( 2, 4) под действием группы PSL ( 3, 4) разбиваются на три орбиты. Возьмем в качестве вершин точки, прямые и одну из этих орбит на плоскостях Фано. Пусть точки и прямые будут двумя 2-кокликами; соединим точку с прямой, если они инцидентны, точку с плоскостью Фано, если они пересекаются по трем точкам, наконец, две плоскости Фано, если они пересекаются по одной точке. [21]
Подплоскости Фано в проективной плоскости PG ( 2 4) под действием группы PSL ( 3, 4) разбиваются на три орбиты. Возьмем в качестве вершин точки, прямые и одну из этих орбит на плоскостях Фано. Пусть точки и прямые будут двумя 2-кокликами; соединим точку с прямой, если они инцидентны, точку с плоскостью Фано, если они пересекаются по трем точкам, наконец, две плоскости Фано, если они пересекаются по одной точке. [22]
В этом пункте мы изложим в общих чертах доказательство основной теоремы Глисона, которая устанавливает достаточное условие дезарговости конечной плоскости. Глисон доказал свою теорему, используя некоторые факты, относящиеся к конечным группам. А именно, на плоскости Фано, как мы показали, сложение точек обладает свойством ассоциативности. Этому факту соответствует такое следствие основной теоремы. [23]
Подплоскости Фано в проективной плоскости PG ( 2, 4) под действием группы PSL ( 3, 4) разбиваются на три орбиты. Возьмем в качестве вершин точки, прямые и одну из этих орбит на плоскостях Фано. Пусть точки и прямые будут двумя 2-кокликами; соединим точку с прямой, если они инцидентны, точку с плоскостью Фано, если они пересекаются по трем точкам, наконец, две плоскости Фано, если они пересекаются по одной точке. [24]
Подплоскости Фано в проективной плоскости PG ( 2 4) под действием группы PSL ( 3, 4) разбиваются на три орбиты. Возьмем в качестве вершин точки, прямые и одну из этих орбит на плоскостях Фано. Пусть точки и прямые будут двумя 2-кокликами; соединим точку с прямой, если они инцидентны, точку с плоскостью Фано, если они пересекаются по трем точкам, наконец, две плоскости Фано, если они пересекаются по одной точке. [25]
Подплоскости Фано в проективной плоскости PG ( 2, 4) под действием группы PSL ( 3, 4) разбиваются на три орбиты. Возьмем в качестве вершин точки, прямые и одну из этих орбит на плоскостях Фано. Пусть точки и прямые будут двумя 2-кокликами; соединим точку с прямой, если они инцидентны, точку с плоскостью Фано, если они пересекаются по трем точкам, наконец, две плоскости Фано, если они пересекаются по одной точке. [26]
Подплоскости Фано в проективной плоскости PG ( 2 4) под действием группы PSL ( 3, 4) разбиваются на три орбиты. Возьмем в качестве вершин точки, прямые и одну из этих орбит на плоскостях Фано. Пусть точки и прямые будут двумя 2-кокликами; соединим точку с прямой, если они инцидентны, точку с плоскостью Фано, если они пересекаются по трем точкам, наконец, две плоскости Фано, если они пересекаются по одной точке. [27]