Cтраница 2
Конечно, здесь идет речь о многогранниках в обобщенном смысле, аналогичном обобщенному пониманию многоугольника. Другие способы исследования взаимных фигур основываются на введенном Мебиусом понятии нуль системы. На этом понятии основывались и исследования Кремоны. [16]
Для общего случая Максвелл формулирует свои выводы в следующих двух положениях: Две плоские фигуры являются взаимными, если они состоят из равного числа линий, притом таким образом, что соответственные линии двух фигур параллельны, а соответственные линии, сходящиеся в одной точке на одной фигуре, образуют замкнутый многоугольник на другой. Если силы, представленные по величине двумя отрезками, действуют между крайними точками соответственных отрезков одной фигуры, то все точки взаимной фигуры будут находиться в равновесии под действием этих сил. Столь абстрактная формулировка важного свойства взаимных фигур едва ли могла принести большую пользу инженеру-практику, и мы согласны с проф. Немного, однако, найдется таких инженеров, которые заподозрят, что эти две только что приведенные фразы предоставляют в их расноряжение замечательно простой и точный способ определения усилий в стержневых системах. После такого заключения Дженкин дает несколько примеров построения взаимных диаграмм, следуя правилам, разработанным конструктором-практиком У. [17]
Поскольку любой из стержней фермы соединяет два узла, то усилия в каждом стержне будут входить в два силовых многоугольника. Эти многоугольники, при определенном порядке их построения ( и одинаковом масштабе) могут быть последовательно сложены друг с другом равными сторонами, так что составят одну фигуру, взаимную по отношению к фигуре, представляющей собой чертеж фермы вместе с приложенными к ней внешними силами; такая фигура, дающая полную картину усилий в стержнях фермы, называется диаграммой Максвелла - Кремоны. Методы ее построения даны на основании теории взаимных фигур, английским физиком К. [18]
Далее следует построить многоугольник данных сил и реакций и разметить его вершины буквами, как только что указано, обходя всю фигуру в определенном направлении, например, по стрелке часов. На данной фигуре стороны 7 и 7 ограничивают грань А поэтому на взаимной фигуре точка пересечения сторон 7 и 7 должна быть обозначена через А. [19]
Немного позже начинают появляться работы, в кото рых предлагаются методы графического исследования вопросов кинематики механизмов. Профессору Берлинской высшей технической школы Зигфриду Аронгольду и английскому ученому Александру Кеннеди принадлежит известная теорема о трех мгновенных центрах вращения. На основании этой теоремы был разработан графический метод определения скоростей механизмов. Метод построения планов скоростей и ускорений, разработанный Мором и Смитом, в своей сущности связан с геометрическими рассуждениями Максвелла о взаимных фигурах. [20]
Разберем теперь в более общем виде мысль, положенную в основу последних рассмотрений, спросив себя: насколько привлечение высшего пространства может доставить лучшее представление о геометрических соотношениях в низших пространствах. Прежде всего мы будем говорить о рассмотрениях, которые относятся к парам точек, к тройкам точек, короче, к множествам п точек прямой, к которым приводит бинарная теория инвариантов. Под ними мы понимаем геометрические образы из точек и прямых, обладающие определенными специальными свойствами в их расположении. Наконец, в § 53 мы бросим взгляд на графическую статику, в которой известные взаимные фигуры могут быть представлены как проекции пространственных полиэдров при нуль-системе. [21]
Затем переходим к тому узлу фермы, где сходится не более двух стержней с неизвестными усилиями. На взаимной фигуре эти три стороны должны образовать треугольник. Одна сторона этого треугольника, именно сторона /, известна; известны направления двух других сторон; следовательно, построить треугольник возможно. Чтобы знать, какую сторону проводить через точку Л, а какую через точку F, заметим, что сторона 3 ограничивает грань Л и сторона 2 - - грани F и В одновременно. Следовательно, через точку А пройдет сторона 3 и через точку F пройдет сторона 2, другой конец которой должен быть обозначен буквою В. В самом деле, грань В ограничивают стороны 2 и Зу следовательно, во взаимной фигуре точка пересечения сторон 2 и 5 должна быть обозначена через В. [22]
Затем переходим к тому узлу фермы, где сходится не более двух стержней с неизвестными усилиями. На взаимной фигуре эти три стороны должны образовать треугольник. Одна сторона этого треугольника, именно сторона /, известна; известны направления двух других сторон; следовательно, построить треугольник возможно. Чтобы знать, какую сторону проводить через точку Л, а какую через точку F, заметим, что сторона 3 ограничивает грань Л и сторона 2 - - грани F и В одновременно. Следовательно, через точку А пройдет сторона 3 и через точку F пройдет сторона 2, другой конец которой должен быть обозначен буквою В. В самом деле, грань В ограничивают стороны 2 и Зу следовательно, во взаимной фигуре точка пересечения сторон 2 и 5 должна быть обозначена через В. Чтобы определить эту точку С, заметим, что грань С ограничена также и стороной 5, которая в то же время является стороной многоугольника F. Поэтому во взаимной фигуре сторона 5 должна проходить через Т7 и С. Точку F мы уже имеем; следовательно, проведя во взаимной диаграмме через точку F прямую, параллельную стержню 5 фермы, до пересечения со стороной 4У мы и получим точку С. Таким образом, исходя из первой взятой вершины в многоугольнике сил ( в данном примере из вершины А), мы, обходя ферму в определенном круговом порядке, строили дальнейшие многоугольники сил. [23]
Перенося силы 7 и 2 к узлу, заключаем, что стержни / и 2 оба должны быть растянутыми. Следует обратить внимание, что сила / встретилась нам дважды: в треугольнике / / ив треугольнике / / /; она имеет в этих треугольниках противоположные направления. Это очевидно, так как растянутый стержень / стремится стянуть два своих концевых узла с равными по величине, но противоположно направленными силами. Причина этого была нами только что выяснена. Этот прием можно распространить и на более сложные фермы: сначала ищем равновесие данных сил и реакций опор, строя для них многоугольник, а затем переходим к равновесиям отдельных узлов фермы. Однако если ферма сложна, то число таких отдельных построений будет весьма значительным, причем стороны, представляющие усилия в стержнях, придется прочерчивать по два раза. Нетрудно подметить, что построение может быть упрощено. Очевидно, что треугольники / /, III и IV можно вложить в треугольник /, как это показано на черт. Фигура V в компактном построении дает сразу общую картину всех усилий и заменяет собою фигуры /, / /, / / / и IV. Фигура V и фигура, представляющая ферму с приложенными к ней силами, являются взаимными. Таким образом, метод Максвелла-Кремона сводится к построению фигуры, взаимной с данною, представляющей ферму с приложенными к ней силами. Эти обе взаимные фигуры называются взаимными диаграммами ] отсюда самый метод называется еще методом взаимных диаграмм. Построение взаимной диаграммы требует соблюдения некоторых правил, без чего построение может не удаться без ряда ошибочных проб. Мы выясним эти правила лишь для простейших случаев, когда силы, приложенные к ферме, и реакции опор - сходящиеся или параллельные. [24]