Cтраница 2
Связь между данным континуумом и его знаковой схемой неизбежно несет в себе понятие изоморфизма; без этого понятия и без понимания того, что изоморфные схемы следует рассматривать как отличающиемся лишь второстепенными деталями - не более, чем конгруэнтные фигуры в геометрии, - математическое понятие топологического пространства было бы неполным. Кроме того, необходимо точно сформулировать условия, которым должна удовлетворять каждая топологическая схема. Например, одно из таких условий требует, чтобы каждая 1-клетка была ограничена ровно двумя 0-клетками. [16]
Геометрия изучает свойства общие для всех конгруэнтных фигур, Мы не исследуем, например, до отдельности треугольники со сторонами длиной 3, 4 и 5, начерченные на разных листах бумаги. Конгруэнтные фигуры рассматриваются как равные, и понятие конгруэнтности ( равенства) фигур является, таким образом ( одним из основных геометрических понятий. [17]
Если вершину V пирамиды удалить в бесконечность, то ее боковые ребра станут параллельными прямыми, а фигура - призмой. Обычно основаниями призмы являются конгруэнтные фигуры, т.е. подобные и равновеликие. [18]
Разбиваем многоугольник на элементарные треугольники и строим в стороне конгруэнтный треугольник ЛВС, к стороне Л С пристраиваем треугольник ACD, к стороне AD пристраиваем треугольник ADE, и наконец, к стороне АЕ пристраиваем треугольник АЕМ. В результате получим две конгруэнтные фигуры. [19]
При выполнении чертежей иногда приходится определять натуральную величину плоской фигуры или ее элементов. Плоская фигура проецируется в конгруэнтную фигуру на параллельную ей плоскость проекций. [20]
Справедливость этих утверждений вытекает из определения конгруэнтности и свойств движений. Напомним, что фигура f называется конгруэнтной фигуре G, если существует движение g, переводящее г в G, т.е. g ( F) G ( заметьте, здесь равенство, т.е. совпадение, а не конгруэнтность. Чтобы доказать рефлексивность, нужно найти такое движение, которое переводит фигуру Р в себя. [21]
Будучи расположены в двух параллельных плоскостях верхнее основание цилиндра и тень от него являются двумя конгруэнтными фигурами. [22]
Будучи расположенными в двух параллельных плоскостях, верхнее основание цилиндра и тень от нею являются двумя конгруэнтными фигурами. [23]
Отображение плоскости, сохраняющее неизменным расстояние между любой парой точек, называется автоморфизмом. Под действием автоморфизма плоскость ведет себя, если можно сказать, подобно твердому телу: любая фигура переходит в конгруэнтную фигуру, прямая - в прямую, окружность - в окружность. [24]
Геометрия изучает свойства, общие для всех конгруэнтных фигур. Мы не исследуем, например, по отдельности треугольника со сторонами длиной 3, 4 и 5, пачерчен-ные на разных листах бумаги. Конгруэнтные фигуры рассматриваются как равные, и понятие конгруэнтности ( равенства) фигур является, таким образом, одним из основных геометрических понятий. [25]
Лагранж формально вводит наряду с тремя пространственными координатами и четвертую - время. Идея четырехмерного пространства встречается в Барицентрическом исчислении А. Говоря о невозможности совмещения двух зеркально конгруэнтных фигур, лежащих в одной и той же плоскости, без выхода в трехмерное пространство, Мебиус по аналогии заключает, что для совмещения таких же двух пространственных фигур необходимо произвести полуоборот в пространстве четырех измерений. Но так как такое пространство нельзя себе представить, то совмещение в этом случае невозможно. [26]
Многообразия часто имеют определенную структуру. Например, элементы поля связаны наличием двух операций - сложения и умножения; в эвклидовом пространстве мы имеем отношение конгруэнтности между фигурами. Отсюда возникает идея, отображений, сохраняющих структуру; они называются гомоморфизмами. Гомоморфным отображением пространства в себя было бы такое, которое переводит любые две конгруэнтные фигуры также в две конгруэнтные фигуры. В математике согласились принять следующую терминологию ( естественную для того, кто немного знаком с греческим): гомоморфизмы, являющиеся взаимнооднозначными отображениями, называются изоморфизмами; если гомоморфизм отображает многообразие а в себя, он называется эндоморфизмом, и он же называется автоморфизмом, когда является взаимнооднозначным отображением а в себя. [27]
Многообразия часто имеют определенную структуру. Например, элементы поля связаны наличием двух операций - сложения и умножения; в эвклидовом пространстве мы имеем отношение конгруэнтности между фигурами. Отсюда возникает идея, отображений, сохраняющих структуру; они называются гомоморфизмами. Гомоморфным отображением пространства в себя было бы такое, которое переводит любые две конгруэнтные фигуры также в две конгруэнтные фигуры. В математике согласились принять следующую терминологию ( естественную для того, кто немного знаком с греческим): гомоморфизмы, являющиеся взаимнооднозначными отображениями, называются изоморфизмами; если гомоморфизм отображает многообразие а в себя, он называется эндоморфизмом, и он же называется автоморфизмом, когда является взаимнооднозначным отображением а в себя. [28]
Представим теперь себе некоторое усложнение вида оригиналов. Пусть, скажем, составляющие его и подлежащие фотографированию символы ( мы пока по-прежнему считаем их одноцветными) расположены на нескольких прозрачных плоских пластинах, параллельных друг другу и плоскости изображения и перпендикулярных параллельному пучку проектирующих лучей. Изображения по-прежнему будут конгруэнтны своим прообразам, и по-прежнему каждый элемент получит единственное изображение. Но теперь, вообще говоря, уже нельзя утверждать, что каждый элемент фотографии есть изображение некоторого единственного прообраза - взаимная однозначность отображения нарушается, так как две или более конгруэнтных фигуры могут оказаться сечениями одного и того же прямого цилиндра, перпендикулярного плоскостям проекций. [29]
Для определения положения плоскости в пространстве одной горизонтали ее недостаточно. Необходимо знать еще, например, положение какой-нибудь ее точки, не лежащей на горизонтали. За такую точку проще всего принять точку D окружности, горизонтальная проекция а которой на чертеже имеется и расстояние которой от горизонтали ОА известно: точка D удалена от нее на расстояние радиуса окружности, который равен отрезку Ос. Фронтальная проекция а определится из прямоугольного треугольника Odd, построенного на отрезке Od, как на катете, гипотенуза которого Odi равна большой полуоси Ос. Катет dd равен разности апликат точек D к О. Задача имеет два решения в зависимости от того, вверх или вниз по отношению к фронтальной проекции горизонтали отложить величину катета dd эти два решения представляют конгруэнтные фигуры, симметрично расположенные по отношению к плоскости, параллельной горизонтальной плоскости проекций и проходящей через горизонталь. [30]