Cтраница 3
Проецирующие лучи, проведенные через все точки криволинейной фигуры, образуют и р о е-цирующую коническую поверхность ( черт. [31]
Нелинейное отображение (1.57) переводит П в некоторую криволинейную фигуру с. [32]
Метод исчерпывания вновь становится необходимым при вычислении площадей криволинейных фигур, например, площади круга и его частей ( см. сноску на стр. В связи с этим роль неэлементарной аксиомы ( а) смазывается. А так как и формула площади прямоугольника, как правило, дается в школе без аккуратного и полного доказательства, то у школьников создается впечатление, что теория площадей основывается только на аксиомах ( 3), ( 7), ( 6), а аксиома ( а) является ненужной. [33]
Заметим, что эта теорема справедлива и для площадей криволинейных фигур. Для доказательства нужно вписать в криволинейную фигуру многоугольник и совершить переход к пределу. [34]
Заметим, что эта теорема справедлива и для площадей криволинейных фигур. Для доказательства нужно вписать в криволинейную фигуру многоугольник и совершить пере ход к пределу. [35]
С помощью определенного интеграла решаются задачи на вычисление площадей криволинейных фигур, объемов различных тел, работы, произведенной переменной силой, и др. Эти задачи будут рассмотрены в следующих главах. [36]
Гэфф равна высоте прямоугольника с основанием т, равновеликого криволинейной фигуре, образованной осью времени и графиком ДО-Измерив изменение импульса и определив время действия силы, нетрудно из соотношений ( 16) и ( 17) определить эффективную силу, подействовавшую на тело. [37]
Рср представляет собой высоту прямоугольника с площадью, равновеликой площади криволинейной фигуры. Положительные проекции сил откладывают в сторону положительных ординат, а отрицательные проекции сил - в сторону отрицательных ординат. [38]
Графически сила Р0 представляет собой высоту прямоугольника, равновеликого площади криволинейной фигуры. Положительные проекции сил откладывают в сторону положительных ординат, а отрицательные проекции сил - в сторону отрицательных ординат. [39]
Приближенность метода заключается главным образом в том, что для криволинейной фигуры трудно правильно выбрать величины отрезков b так, чтобы момент инерции каждого элементарного прямоугольника равнялся моменту инерции той части фигуры, которую заменяет этот прямоугольник. При выборе длины отрезка Ьь например, надо учитывать, что не площадь прямоугольника aecd должна быть равновелика криволинейной площади над линией aid, а моменты инерции обеих фигур - криволинейной и прямоугольника aecd - должны быть одинаковы. [40]
Натуральные величины многоугольников с большим количеством сторон, а также плоских криволинейных фигур следует находить преобразованием комплексного чертежа, имеющим конечной целью получение изображения плоской фигуры на параллельной ей плоскости. [41]
Разумеется, это не относится к задаче измерения площади круга или иной криволинейной фигуры - здесь неизбежно приходится прибегать в той или иной форме к теории пределов. [42]
На рис. 231 показано, что S-разрезание можно применять и к криволинейным фигурам. То же самое, как можно заметить из рис. 243, справедливо и относительно Я-сдвига; разрез ST, пересекающий весь элемент, также можно сделать кривым. Быть может, прибегнув к этой идее, вам удастся решить какую-нибудь симпатичную задачу. [43]
Началом развития метода являются первыя попытки раскрытия отношений, существующих между простейшею криволинейною фигурою, кругом, и фигурами прямолинейными. После того как было найдено, что площади правильных одноименных многоугольников относятся как квадраты диаметров описанных кругов, сама собою должна была явиться мысль о возможности перехода от этих многоугольников к кругам через посредство удваивания числа сторон многоугольников, делающего периметры последних все более и более близкими к окружностям кругов. Но так как уходящее в безнонечность удваивание числа сторон многоугольника, а вместе с ним и Оезпре-дельное приближение периметра того же многоугольника к окружности, не дают места непосредственному усмотрению, то явилась необходимость для удержания за очевидностью ея прав в принятии основанием всех наследований разсматриваемаго рода такого вспомогательнаго предложения, с помощью котораго требования очевидности были бы удовлетворены. Таким предложением в Элементах Эвклида является следующее: Если даны две неравный величины и от большей отнимается более половины, от оставшегося также более половины, и так далее, то останется величина, которая будет меньше всякой данной мало величины ( книга X, предл. Так как в устанавливаемом этой теоремой процессе всякий остаток сравним с следующим за ним, то строгия требования греческой геометрии являются удовлетворенными. С помощью этой теоремы Эвклид доказывает, что всякий конус составляет третью часть цилиндра, имеющаго одинаковыя с ним основание и высоту; из тех же оснований он выводит, что круги относятся как квадраты их диаметров, что трехугольныя пирамиды, конусы, цилиндры при одной и той же высоте относятся соответственно, как площади их оснований; что отношение шаров равно отношению кубов их диаметров. С гораздо большею строгостью относился к методу исчерпывания Архимед, положивший в его основание теорему: если две линии, две поверхности или два объема неравны, то всегда возможно величину, на которую большее превосходит меньшее, прилагать к самой себе столько раз, что получится результат, превосходящий всякую данную конечную величину одного с ним рода. Пользуясь этой теоремой, Архимед дает, например, два способа решения вопроса о квадратуре параболы. Общий прием, заключающийся как в этих двух, невидимому очень различных способах, так и в подобных им, относящихся к другим родам протяжений, состоит в том, что определяемая величина рассматривается как предел ряда каких-нибудь величин, находящихся к ней в известном отношении. [44]
Проинтегрировав это уравнение по времени один раз ( дело сводится к вычислению площади криволинейной фигуры на графике зависимости силы от времени), можно получить импульс тела в зависимости от времени. Затем нетрудно определить скорость и еще одним интегрированием определить положение тела в пространстве в любой момент времени, решив задачу о движении тела до конца. Тем самым предложенное И. Исторически сложилось, что этот закон называют основным законом динамики, или по имени автора вторым законом Ньютона. [45]