Cтраница 2
Наше доказательство теоремы трансверсальности 3.17 годится для всех 317 ( 2) - расслоений. Мы нигде не использовали ни класс Чжэад с2, ни форму пересечений со, ни размерность JH, хотя и опирались на то, что группа SU ( 2) имеет малую размерность. В действительности это доказательство применимо и к SO ( 3) - pac - слоеаиям. [16]
Недавно Саймон Дональдеон открыл новый тип препятствия к сглаживаемости четырехмерных многообразий. Годом раньше Майкл Фридман классифицировал все компактные односвязные топологические четырехмерные многообразия и установил, что каждая унимодулярная симметрическая билинейная форма реализуется как форма пересечений некоторого топологического четырехмерного многообразия. Рассматриваемые вместе эти результаты дают много примеров несглаживаемнх четырехмерных многообразий с нулевым инвариантом Керби - Зибенманна. Сколько всего таких фальшивых R4, пока неизвестно, хотя несколько экзотических структур уже найдено. Если это так, то задача классификации гладких структур, которая в высших размерностях решается с помощью характеристических классов и, следовательно, является дискретной, может попасть во владения геометрии. Подобно тому как существуют непрерывные пространства модулей комплексных структур на римановых поверхностях, могут существовать пространства модулей гладких структур на четырехмерных многообразиях. Как бы то ни было, теорема Дональдсона показывает, что гладкие структуры в размерности 4 нельзя описать в терминах поднятий касательного расслоения, т.е. в терминах характеристических классов. [17]
Это противоречит положительной определенности формы пересечений со. [18]
Действительно, Я может пробегать полуинтервал ( О, Л / ], причем величина Я будет фиксирована лишь в самом конце главы. Заметим, что в этом месте используется положительная определенность формы пересечений. [19]
Рассмотрим замкнутое односвязное многообразие W4, допускающее разложение W U UM F, где М - целочисленная гомологическая сфера. Теорема Фридмана и Тейлора дает такие дифференцируемые разложения для каждого алгебраического разложения формы пересечения. [20]
JT и f l налагаются три топологических условия - требуется, чтобы форма пересечений со была положительно определенной, первое число Бетти & L обращалось в нуль и группа Сг была трехмерной. При ослаблении любого из этих требований появляются серьезные трудности. Вытекающий из нее результат о несглаживаемости справедлив для компактных ориентированных четырехмерных многообразий с почти любой конечной фундаментальной группой, зато класс форм пересечений таких многообразий довольно ограничен. Одно из достоинств их подхода - значительно более простой аналитический аппарат. Поскольку результаты Финтушела и Стерна имеют важное значение для топологии трехмерных многообразий, мы наложим ъ этой главе легкий случай их теоремы. Трудности в остальных случаях носят не аналитический характер, а связаны главным образом с теоретико-числовыми свойствами формы пересечений, но мы дадим достаточно информации для того, чтобы читатель смог самостоятельно восполнить пропущенные детали. [21]
Основная проблема топологии многообразий состоит в характе-ризацни многообразий посредством алгебраических инвариантов. Например, ориентируемые замкнутые связные двумерные многообразия полностью характеризуются родом в -, однозначно определяющим их тип диффеоморфизма. Аналогичным образом классифицируются неориентируемые двумерные многообразия. В 1981 г. американский математик Майкл Фридман доказал, что для любой целочисленной унимодулярной квадратичной формы со существует замкнутое одно-связное топологическое четырехмерное многообразие М, реализующее со как форму пересечений циклов. Кроме того, если форма со четна, то любые два многообразия, реализующие со, являются гомеоморфнымн. Тем самым Фридман получил полную классификацию замкнутых односвяз-ных топологических четырехмерных многообразий. [22]
JT и f l налагаются три топологических условия - требуется, чтобы форма пересечений со была положительно определенной, первое число Бетти & L обращалось в нуль и группа Сг была трехмерной. При ослаблении любого из этих требований появляются серьезные трудности. Вытекающий из нее результат о несглаживаемости справедлив для компактных ориентированных четырехмерных многообразий с почти любой конечной фундаментальной группой, зато класс форм пересечений таких многообразий довольно ограничен. Одно из достоинств их подхода - значительно более простой аналитический аппарат. Поскольку результаты Финтушела и Стерна имеют важное значение для топологии трехмерных многообразий, мы наложим ъ этой главе легкий случай их теоремы. Трудности в остальных случаях носят не аналитический характер, а связаны главным образом с теоретико-числовыми свойствами формы пересечений, но мы дадим достаточно информации для того, чтобы читатель смог самостоятельно восполнить пропущенные детали. [23]