Cтраница 1
Действительная квадратичная форма является положительно-определенной тогда и только тогда, когда все угловые миноры ее матрицы строго положительны. [1]
Действительная квадратичная форма является отрицательно-определенной тогда и только тогда, когда все угловые миноры нечетного порядка ее матрицы отрицательны, а все угловые миноры четного порядка положительны. [2]
Действительная квадратичная форма может быть приведена к нормальному виду многими различными преобразованиями, однако с точностью до нумерации неизвестных она приводится лишь к одному нормальному виду. [3]
Действительная квадратичная форма является О. [4]
Предложение 22.2. Всякая действительная квадратичная форма с помощью невырожденного линейного преобразования переменных над полем действительных чисел может быть приведена к нормальному виду. [5]
Определение 22.7. Канонический вид действительной квадратичной формы, каждый ненулевой коэффициент которого равен 1 или - 1, называется нормальным. [6]
Лемма 22.3. Знак определителя матрицы действительной квадратичной формы не меняется при применении к этой форме невырожденного действительного линейного преобразования переменных. [7]
Теорема 24.22. Для любой пары действительных квадратичных форм от п переменных, одна из которых является положительно-определенной, существует невырожденное линейное преобразование переменных, приводящее каждую из этих форм к каноническому виду. [8]
Число ненулевых коэффициентов в нормальном виде действительной квадратичной формы не зависит от выбора невырожденного линейного преобразования переменных, приводящего ее к нормальному виду; оно равно рангу этой формы. [9]
В § 22.3 доказано, что всякая действительная квадратичная форма с помощью действительного невырожденного линейного преобразования переменных может быть приведена к каноническому виду. [10]
Определение 22.8. Число положительных коэффициентов в нормальном виде действительной квадратичной формы называется положительным индексом инерции этой формы, а число отрицательных коэффициентов - ее отрицательным индексом инерции. [11]
Число положительных и число отрицательных коэффициентов в нормальном виде действительной квадратичной формы не зависит от выбора невырожденного линейного преобразования переменных, приводящего эту форму к нормальному виду. [12]
Следующие две теоремы доказываются точно так же, как и в случае действительных квадратичных форм. [13]
Всякая квадратичная форма может быть приведена некоторым невырожденным линейным преобразованием к каноническому виду. Если при этом рассматривается действительная квадратичная форма, то вес коэффициенты указанного линейного преобразования можно считать действительными. [14]
Согласно теореме 28.17 и закону инерции для действительных квадратичных форм, каждая квадрика попадет в один вполне определенный класс. [15]