Cтраница 2
Все результаты § 1 - 7 этой главы, установленные для вещественных квадратичных форм, могут быть перенесены на эрмитовы формы. [16]
В частном случае, когда и переменные, и элементы матрицы являются вещественными, эрмитова форма становится вещественной квадратичной формой. Эрмитова форма всегда принимает вещественное значение. [17]
Закон инерции и критерий положительной определенности ( критерий Сильвестра) квадратичной эрмитовой формы формулируются точно так же, как для вещественной квадратичной формы. [18]
Для эрмитовой матрицы и эрмитовой формы знакоопределенность и знакопостоянство определяются точно так же, как и для симметрической матрицы и вещественной квадратичной формы. [19]
Именно каждой неотрицательно определенной квадратичной форме В на векторном пространстве Е соответствует гауссовская мера на двойственном пространстве с преобразованием Фурье ехр ( - В ( х)); совершенно аналогично каждой вещественной квадратичной форме BL на Е соответствует интеграл Фейнмана, задаваемый мерой Фейнмана с преобразованием Фурье exp ( iBi ( x)); иногда, отказываясь в этом последнем определении от требования вещественности, считают гауссовскую меру частным случаем меры Фейнманах Таким образом, понятие интеграла Фейнмана определяет не единственны; объект, а целый класс объектов; этим и объясняется использование термина интегралы ( а не интеграл) Фейнмана. [20]
Рассмотрим задачу приведения вещественной квадратичной формы к сумме квадратов с новой точки зрения. [21]
Прежде всего между геометрической и гомотопической теориями существует взаимосвязь. Оказывается, что рассмотренные выше геометрические инварианты ( сигнатура вещественных квадратичных форм и. Арфа Z / 2-форм) составляют полную систему числовых инвариантов нормального класса кобордиз-мов как в PL -, так и в топологической ситуации. [22]
Ответ положительный: достаточно построить минимальные алгебры, основываясь на вещественных квадратичных формах, имеющих одинаковые сигнатуры, но не являющихся рационально эквивалентными. [23]
В этом параграфе приводятся критерии разрешимости ряда конкретных проблем моментов. Все они выражаются в виде требования неотрицательности некоторых [ эрмитовых или вещественных квадратичных форм. [24]
Иначе говоря, при любом приведении квадратичной формы к сумме квадратов линейных линейно-независимых форм число квадратов равно рангу упомянутой таблицы. Кроме того, имеет место и еще одно свойство, которое обычно называется законом инерции квадратичных форм, а именно: при любом преобразовании вещественной квадратичной формы к виду ( 156), где линейные формы Xk также вещественны, число положительных коэффициентов ( xft ( и число отрицательных коэффициентов J. Высказанные соображения будут нами доказаны в конце настоящего номера. [25]
При такой постановке задачи коэффициенты ( ift не являются какими-либо определенными числами, как это мы имели выше, но мы можем все-таки высказать некоторое утверждение относительно этих коэффициентов, а именно: число этих коэффициентов, отличных от нуля, должно всегда равняться рангу таблицы, составленной из коэффициентов ailt квадратичной формы. Иначе говоря, при любом приведении квадратичной формы к сумме квадратов линейных линейно-независимых форм число квадратов равно рангу упомянутой таблицы. Кроме того, имеет место и еще одно свойство, которое обычно называется законом инерции квадратичных форм, а именно: при любом преобразовании вещественной квадратичной формы к виду ( 156), где линейные формы Xk также вещественны, число положительных коэффициентов у. Высказанные соображения будут нами доказаны в конце настоящего номера. [26]
Таким образом, с каждой квадратичной формой связан целый класс попарно конгруэнтных симметрических матриц. Как было уже отмечено выше, все эти матрицы имеют один и тот же ранг - ранг формы. Ранг является инвариантом для данного класса матриц. В случае вещественной квадратичной формы вторым инвариантом является так называемая сигнатура квадратичной формы. К введению этого понятия мы и переходим. [27]