Трехдиагональная форма

Cтраница 2

Если заданная матрица А симметричная, то во многих случаях можно произвести такую перестановку, при которой верхний левый угол результирующей матрицы будет иметь трехдиагональную форму. [16]

Процедуры tred I, tred 2 и tred 3 по существу одинаковы, за исключением отличий в организации, и обеспечивают устойчивый процесс приведения исходной матрицы к трехдиагональной форме. [17]

Затем в соответствии с процедурой Релея - Ритца происходит вычисление требуемых собственных чисел и векторов ( 81 /, s s /) матрицы Ту. Трехдиагональная форма очень удобна для реализации этого этапа ( см. гл. [18]

Алгоритм следует использовать в тех случаях, когда необходимо определить все собственные значения симметрической ленточной матрицы. После приведения к трехдиагональной форме для вычисления собственных значений целесообразно применить QD-алгоритм, который обеспечивает значительную экономию времени по сравнению с алгоритмом приведения к треугольной форме. [19]

Основное назначение этого алгоритма состоит в том, чтобы заменить вычисление собственных значений произвольной симметрической матрицы вычислением собственных значений трехдиагональной матрицы. Возможных процедур приведения к трехдиагональной форме достаточно много, и эффективность той или иной из них зависит от того, как в дальнейшем вычисляются собственные значения и векторы трехдиаго-иальной матрицы. [20]

Процедура tred 2 имеет отличительную особенность. Если на каком-то шаге строка, приводимая к трехдиагональной форме, уже имеет такую структуру, то очередное преобразование не выполняется. Это свойство реализовано в процедуре tred 2, поскольку экономия времени в этом случае значительна. Если исходная матрица является трехдиагональной, то никаких вычислений процедура tred 2 не выполняет. [21]

Для того чтобы уменьшить объем вычислений при реализации метода обрат-нон итерации, желательно иметь дело с матрицами, содержащими малое количество элементов. Поэтому предполагается, что произвольная действительная симметрическая матрица приведена к трехдиагональной форме, а действительные и комплексные неэрмитовы матрицы - к верхней форме Хессенберга. [22]

Это тождество может быть сразу же использовано. Мы начнем с первого столбца А и будем помнить, что в результате должны получить трехдиагональную форму или форму Хессенберга 1 / - М1 / матрицы А. [23]

Один шаг QL-алгоритма. [24]

Сохранение трехдиагональной формы является весьма ценным свойством. Удивительно, что такая сложная и далеко не разреженная матрица, как QA, может сохранять трехдиагональную форму. [25]

Такие матрицы возникают и в приложениях, и в анализе. Многие способы вычисления собственных значений матриц ( тема, не рассматриваемая в настоящей книге) включают в себя сведение матрицы к эквивалентной трехдиагональной форме. [26]

Точный алгоритм может быть представлен несколькими способами. В действительности это уже было сделано при его появлении в § 7.2, где конструктивное доказательство того факта, что qj полностью определяет приведение А к трехдиагональной форме T ( Q AQ) является просто изложением алгоритма Ланцоша. [27]

Вторая матрица иллюстрирует случай кратных собственных значении. Применение процедур при решении проблемы собственных значений для трехдиаго-нальных матриц будет показано в дальнейшем ( алг. Приведение матриц к трехдиагональной форме было выполнено на вычислительной машине KDF9, которая имеет 39 разрядов для представления мантиссы двоичных чисел. [28]

Затем мы исключаем первую строку и первый столбец из дальнейшего рассмотрения и повторяем описанную выше процедуру для оставшихся строк и столбцов. Если на каком-либо шаге нельзя будет найти строку с одним внедиагональным элементом, то процесс прекращается: Ясно, что на этом шаге левый верхний угол преобразованной матрицы будет иметь трехдиа-гональную форму. Теперь нам остается только преобразовать квадратную матрицу в нижнем правом углу к трехдиагональной форме, применив один из методов GM или НМ. [29]

Метод преобразований подобия применяется с целью получить из исходной матрицы новую с теми же собственными значениями, но более простого вида. Очевидно, самым лучшим упрощением было бы приведение матрицы к чисто диагональному виду, так как в этом случае собственные значения просто соответствовали бы элементам матрицы, стоящим на главной диагонали. К сожалению, большая часть методов преобразования не позволяет этого сделать, и приходится довольствоваться приведением матрицы к трехдиагональной форме. [30]

Страницы: 1 2 3