Cтраница 1
Логический формализм, лежащий в основе рекурсивной арифметики, представляет собой элементарное исчисление со свободными переменными. К нему в качестве исходных формул добавляются аксиомы равенства и формула О Ф О, а в качестве схем - схема индукции и схема примитивной рекурсии. Средств этого формализма уже достаточно для того, чтобы с их помощью можно было изобразить различные понятия, утверждения и доказательства элементарной арифметики. С другой стороны, этот формализм еще допускает определенное финитное истолкование. Но и без прямого обращения к этому истолкованию мы легко смогли доказать непротиворечивость этого формализма и даже установить, что всякая выводимая в нем формула, не содержащая формульных переменных, при любой замене входящих в нее свободных индивидных переменных цифрами после вычисления значений соответствующих функций переходит в истинную формулу. [1]
Чтобы сделать логический формализм эквивалентным грамматическому, нужно ввести связку следует за, присущую правилам грамматики. [2]
Однако отделить логический формализм от содержания, чтобы оперировать им, не оглядываясь на смысловое содержание, бессмысленно, коль скоро мы так ограничиваем импликации. Я не утверждаю, что этому невозможно научить школьника, но тогда его придется учить чисто формально, и это останется формальным без всякого содержания, если даже и будет действовать. Однако, зачем нужно такое обучение, остается неясным. [3]
Таким образом, логические формализмы представления знаний охватывают проблему рассуждений достаточно изящно. [4]
Действительно, введение в логический формализм символа, имеющего вид некоторой универсальной функции от предиката, в то время как никакого логического определения такого рода функции не имеется, выглядит каким-то несоответствием. [5]
Я должен еще раз подчеркнуть, что нет смысла преподавать логический формализм, независимый от материала, которому он должен придавать форму. Это, разумеется, относится к любому формализму, но логический формализм в этом смысле особенно опасен. [6]
Больше того, как мы увидим ниже, доказательство непротиворечивости логического формализма ( или исчисления) может приводить и к собственно математическим результатам. Но особенно существенно, что в наши дни уже не может быть сомнений в том, что именно решение ряда наиболее трудных проблем математики требует специального исследования аппарата математического доказательства и алгоритмических методов математики. [7]
Проиллюстрируем синтаксис логики предикатов, сопоставляя нескольким русским фразам их переводы на язык логического формализма. [8]
С этой точки зрения, расширенное исчисление предикатов без теории типов, взятое в целом, не есть логика, хотя включает в себя определенный логический формализм. Последний может быть выделен из состава расширенного исчисления предикатов без теории типов путем исключения всех-явных и неявных-аксиом, утверждающих существование индивидуальных объектов или нетривиальных зависимостей экзистенциального характера между объектами. Полученный таким образом логический формализм-исчисление К0 - непротиворечив. [9]
Целесообразно, видимо, привести еще один довод в пользу доказуемости рассматриваемых предположений, высказанный Бернай-сом в 1930 г. Описав систему гильбертовского формализма, он продолжал: Так, в частности, благодаря логическому формализму впервые становится вполне понятным смысл принципа выбора. [10]
Подход, основанный на стандартной логике, предложен Чакраварти, Минкером и Грэнтом [ Chak86, Chak87 ], которые описывают технические проблемы, возникающие при связывании запросов и ограничений. Для выражения запросов и ограничений используется логический формализм. [11]
Я должен еще раз подчеркнуть, что нет смысла преподавать логический формализм, независимый от материала, которому он должен придавать форму. Это, разумеется, относится к любому формализму, но логический формализм в этом смысле особенно опасен. [12]
Две последние часто являются альтернативой первой. Было показано, что их можно переписать и переинтерпретировать с помощью логического формализма. [13]
Но логические проблемы, связанные с вопросами о парадоксах и доказательствами непротиворечивости и полноты, имеют смысл не только в плане устранения трудностей обоснования математики. Заметим, что приведенное выше описание построения научной теории в виде логического формализма, содержащего не только систему аксиом, но и правила образования понятий и вывода следствий, нуждается в некотором уточнении. Правильнее было бы сказать так: если в старом понимании формально-дедуктивной теории формулировался только первый - шаг индукции: задавались исходные понятия и предложения, та теперь формулируется и второй: задается способ, как, имея уже некоторый запас введенных понятий и доказанных предложений, получить с их помощью новые. Этот индуктивный прием построения современной формально-дедуктивной теории позволяет обозреть всю совокупность принадлежащих ей понятий и предложений и, таким образом, выяснить границы ее возможностей и характер дальнейшего развития, необходимого для преодоления этой ограниченности. Мы видим уже из этого, что создание общей теории дедуктивных формализмов диктуется и непосредственными потребностями математики. [14]
Другой раз Вилли рассуждал об этом в 1905 году. Но закон однозначи-мости Петцольдта, конечно, не удовлетворил Вилли, видящего здесь только логический формализм. Вопрос о мире до человека, - говорит автор, - поставленный по-петцольдтовски, приводит нас, пожалуй, опять к вещам-в-себе так называемого здравого смысла. [15]